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fonction C1 localement lipschitzienne
Bonjour à tous, je voudrais bien connaitre la démonstartion de f une fonction C1=> f est localement lipschitzienne.
Alors si quelqu'un sait comment on fait,je l'en remercie d'avance.
Si on pouvait me rappeler ce qu'est localement lipschitzien et la différence avec lipschitzien tout court,ce sera sympa aussi!
MERCI!
Bonjour Robby,
Si on prend pour simplifier une fonction f de R dans R (pour généraliser tu peux remplacer l'espace de départ par un espace métrique et de même pou l'espace d'arrivée).
ta fonction est lipschiztienne, si il existe k>0 tel que pour tous x,y, on a
(pour la généralisation remplacer par les distances adéquates)
ta fonction est localement lipschitzienne, si pour tout
, il existe un voisinage de
, telle que la restriction de
sur ce voisinage est lipschitzienne.
la démonstartion de f une fonction C1=> f est localement lipschitzienne.
Il me semble que c'est pas vraiment difficile si tu arrives à montrer que
f' est localement bornée
tu le traduit par il existe un voisinage V quelque soit le point x de R tel que f'(x) soit bornée??
on sait juste au départ que f est C1,
donc f' est continue.
Comment arrive t-on à f' localement bornée?
tu le traduit par il existe un voisinage V quelque soit le point x de R tel que f'(x) soit bornée??
Non, c'est pas vraiment dans le bon ordre,
je le traduis par, :
pour tout
Là, il faut trouver un voisinage compact
pour montrer cette propriété d'être "localement bornée". (une propriété est "locale" si elle est vraie pour au moins un voisinage de chaque point)
Je n'ai pas vraiment compris je crois mais je me lance...
Soit avec
C'est un fermé,bornée de R donc un compact.
f' continue en a donc:
aprés que faire?
non ce qu'on utilise c'est qu'un fonction continu sur un interval fermé borné est borné. (tu connais ce résultat je pense ?)
a partir de la ta dérivé est borné sur tous les interval borné, et donc lipschitizienne sur chacun de ces intervals.
Salut Ksilver!
ce qu'on utilise c'est qu'un fonction continu sur un interval fermé borné est borné. (tu connais ce résultat je pense ?)
>oki
ta dérivé est borné sur tous les interval borné, et donc lipschitizienne sur chacun de ces intervals.
>pourquoi si elle est bornée elle est lipschitzienne??
c'est peut-etre bete mais...
C'est le th des accroisement finit. si |f'(x)|<k sur un interval I alors f est k-lipschitzinne sur I.
ah oui pff c'était f'...c'est pour ça!!
Oki!!
Merci Ksilver et Romu pour votre aide!!
Bonne soirée à tout les deux!!
on sait juste au départ que f est C1,
donc f' est continue.
Comment arrive t-on à f' localement bornée?
Heu... a ton avis ?
f' est localement continue, donc bornée sur tout compact donc c'est trivial.
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