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Fonction caractéristique

Posté par
cfg977 19-12-22 à 17:21

Bonjour, je voudrais de l'aide pour l'exercice suivant.

Soit X et Y deux variable aléatoire de carré intégrable, et A un évènement. On suppose que X, Y, \mathbb{1_A} sont mutuellement indépendants.
    On définit

            Z = X.1A+Y.1A.



On note QX, QY, QZ les fonctions caractéristiques de X, Y et Z.
Exprimer QZ en fonction de QY, QZ et A.

Posté par
cfg977re : Fonction caractéristique 19-12-22 à 17:37

Désolé, j'ai poster mon message avant d'avoir fini la mise en forme.

Bonjour, je voudrais de l'aide pour l'exercice suivant.

Soit X et Y deux variable aléatoire de carré intégrable, et A un évènement. On suppose que X, Y,   1_A sont mutuellement indépendants.
    On définit

            Z = X.1_A+Y.1_\overline{A}.



On note Q_X, Q_Y, Q_Z les fonctions caractéristiques de X, Y et Z.
Exprimer Q_Z en fonction de Q_Y, Q_Z et A.

Je vois que   Z^2 = X^2.1_A + Y^2.1_\overline{A} et on a l'indépendance des variables intervenant dans cette somme mais je sais pas quel lien y a-t-il entre la fonction caractéristique d'une v.a et celle du carré de cette variable aléatoire.

Posté par
carpediemre : Fonction caractéristique 19-12-22 à 20:06

salut

encore quelques pb dénoncé ...

pourquoi ne pars-tu pas de la définition tout simplement :

Q_z(t) = E(e^{itZ}) = E(e^{it(X . 1_A + Y. 1_{\bar A})} )= ...

et voir si on peut bricoler cela ...

Posté par
cfg977re : Fonction caractéristique 19-12-22 à 23:12

Ici, la présence des indicatrice me dérange car elles ne sont pas indépendantes. Je ne peux donc pas faire de séparation dans l'espérance.

Posté par
cfg977re : Fonction caractéristique 20-12-22 à 11:11

Bonjour, j'ai enfin trouvé une solution.

Soit
        

t \in \mathbb{R}.$ Q_Z(t) = \mathbb{E}(e^{itZ})

                      = \mathbb{E}(e^{it(X1_A+Y1_{\overline{A}})})

                      = \mathbb{E}(e^{it(X1_A+Y1_{\overline{A}})} \\ \\ (1_A+1_{\overline{A}}))

                     =\mathbb{E}(e^{it(X1_A+Y1_{\overline{A}})}1_A})+\mathbb{E} \\ \\ (e^{it(X1_A+Y1_{\overline{A}})}1_{\overline{A}}}) par linéarité de l'intégrale.

Or      e^{it(X1_A+Y1_{\overline{A}})}1_A}=e^{itX}1_A}. Il suffit d'évaluer chaque v.a dans cette égalité en \omega.

De même e^{it(X1_A+Y1_{\overline{A}})}1_{\overline{A}}}=e^{itX}1_{\overline{A}}}

Finalement on a : t \in \mathbb{R}.$ Q_Z(t) = Q_X(t)P(A)+Q_Y(t)P({\overline{A}})


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