Fonction circulaire: équation

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Fonction circulaire: équation
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nascoli  26-10-10 à 13:33
Bonjour,

j'ai commencé à réfléchir sur l'énoncé d'un exo de mon DNS pour la rentrée. Je dois résoudre cette équation:

arcsin(2x) - arccos (x) = Pi / 3

J'ai tenté la méthode suivante. 

arcsin(2x) = Pi/3 + arccos (x)

Je passe tout en sinus:

sin [ arcsin(2x) ] = sin [ Pi/3 + arccos(x) ]

2x = sin(Pi/3) * cos(arcos(x)) + cos(Pi/3) * sin(arccos(x))

2x = sin(Pi/3) * x + cos(Pi/3) * (1 - x²)^(1/2)

Après je continue mon calcul, je trouve un résultat qui a une sale tête, et qui en plus n'est pas solution. Est-ce que ma méthode est fausse ?

Merci pour votre aide !
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numero10re : Fonction circulaire: équation  26-10-10 à 20:58
Salut,

Ta méthode me semble correcte,je suppose que tu n'as pas travaillé par équivalence voilà pourquoi tes solutions posent problèmes.Enfin j'en sais rien et es tu sûr qu'il y en a?
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MatheuxMatoure : Fonction circulaire: équation  26-10-10 à 23:07
Bonjour

déjà il faudrait définir précisément l'ensemble de définition de ton équation !

et si A=B  sin(A) = sin(B) ... la réciproque est-elle vraie ?

As-tu regardé dans quels intervalles se promènent arcsin(2x) et arcos(x) + /3 ?

ensuite il serait peut-être bon d'exprimer les valeurs des sinus et cosinus de /3 !

et quel(s) résultat(s) trouves-tu ?

et comment sais-tu qu'il n'est pas solution ?
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MatheuxMatoure : Fonction circulaire: équation  26-10-10 à 23:09
petit conseil... préoccupe toi plutôt des ensembles que des calculs ! 

il est évident que cette équation n'a pas de solutions !
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numero10re : Fonction circulaire: équation  27-10-10 à 13:36
Certains profs comme mon prof de sup se moquent des ensembles pour les équations considérant que c'est réservé aux études de fonctions.

Pour ce qui est des solutions c'est pour cela que j'ai dit:

Citation :
es tu sûr qu'il y en a?

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nascolire : Fonction circulaire: équation  27-10-10 à 22:20
Alors je vais détailler tout mon calcul ici... Je commence par définir mon ensemble de définition. Arcsin et Arccos sont définis pour x € [-1;1]. Comme on a 2x, on a comme ensemble:

Df: x € [-1/2 ; 1/2]

Je commence mon calcul en travaillant par équivalence:

arcsin(2x) - Arccos(x) = 

arcsin(2x) =  + Arccos(x)

Comme l'ensemble de définition le permet, je peux tout passer sous la fonction sinus:

sin[ arcsin(2x) ] = sin [  + Arccos(x) ]

2x = sin [] * cos [ Arccos(x) ] + cos [  ] * sin [ Arcos(x) ]

2x =  x +  

 =  

Suis-je bien parti ? Si je continue ainsi, je devrais trouver selon vous aucune solution si j'ai bien compris ?

Merci !
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numero10re : Fonction circulaire: équation  27-10-10 à 23:10
De toute façon là tu élèves au carré des deux coté,

tu trouves deux solutions , ces deux solutions il me semble qu'elles ne conviendront pas.
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nascolire : Fonction circulaire: équation  27-10-10 à 23:31
J'aboutis à:

Donc x ~= 0,4 ou x ~= -0,4

Effectivement, elles ne sont pas solutions, mais pourtant si mon calcul est bon ces deux solutions sont bien définies dans mon intervalle. Est-ce logique ?
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MatheuxMatoure : Fonction circulaire: équation  28-10-10 à 09:50
arcsin(2x) se balade entre -pi/2 et pi/2

et arccos(x) entre pi/3 et 2pi/3

donc arccos(x) + pi/3 entre 2pi/3 et pi

moralité... l'équation ne peut avoir de solutions !

mm
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nascolire : Fonction circulaire: équation  28-10-10 à 11:30
Ok j'ai compris... C'était si simple ! Enfin merci à tous, bonne journée.
  Posté par 
MatheuxMatoure : Fonction circulaire: équation  28-10-10 à 12:03
ben oui ! avant de se lancer dans des calculs... tester les grandeurs et les définir !

mm