z = x + iy

avec x²+y² = 1

z² = x² - y² + 2ixy

1+z+z² = 1 + x + x² - y² +i.(y + 2xy)

|1+z+z²|² = (1 + x + x² - y²)² + (y + 2xy)²

|1+z+z²|² = (1 + x + x² - y²)² + y² + 4x²y² + 4xy²

|1+z+z²|² = (1 + x + x² - (1-x²))² + 1-x² + 4x²(1-x²) + 4x(1-x²)

|1+z+z²|² = (x + 2x²)² + 1-x² + 4x² - 4x^4 + 4x- 4x³

|1+z+z²|² = x² + 4x^4 + 4x³ + 1-x² + 4x² - 4x^4 + 4x- 4x³

|1+z+z²|² = 4x² + 4x + 1

|1+z+z²| = V(4x² + 4x + 1)

|1/(1+z+z²)| = 1/V(4x² + 4x + 1)

|1/(1+z+z²)| = 1/(2x + 1)
-----
1+z+z² = 1 + x + x² - y² +i.(y + 2xy)

cos(a) =  1 + x + x² - y²
sin(a) = y (1+2x)

cos(a) =  1 + x + x² - (1-x²)
sin(a) = y (1+2x)

cos(a) = x(1+2x)
sin(a) = +/- V(1-x²). (1+2x)  avec V pour racine carrée.

tg(a) = +/- (V(1-x²))/x

arg(1/(1+z+z²)) = -a

cos(-a) = x(1+2x)
sin(-a) = -/+ V(1-x²). (1+2x)

f(z) = [1/(2x + 1)]*(-/+ V(1-x²). (1+2x)  + i.x(1+2x)]

f(z) = -/+ V(1-x²)  + i.x

Si on met f(z) sous la forme f(z) = X + i.Y, il vient=

X = -/+ V(1-x²)
Y = x

X² = 1-Y²
X² + Y² = 1

Et donc l'image du cercle trigonométrique par f est le cercle trigonométrique.

Le cercle trigonométrique est sa propre image par f.
-----
Sauf distraction.  

Il y a sans nul doute, des méthodes plus directes pour y arriver.

J-P

si on donne la valeur -1/2 +iV3/2 ou -1/2 -iV3/2 on annule le dénominateur

donc z'=f(z) est rejeté à l'infini

donc la courbe des z' a des branches infinies

dis-je des bêtises ?

pour ma part, sans arriver à bien le démontrer, j'arrive à une hyperbole

Philoux

bonjour

il me semble que la fonction f est definie pour tout ztel que z^2+z+10

soit zj; qui sont les racines cubiques de 1

un element z du cercle trigonometrique s'ecrit de maniere trigonometrique sous la forme avec O dans ]-pi;pi]

or donc =

donc ====
donc
l'image est un cercle de centre O et de rayon abs()
qui est bien defini car sin(3O/2)=0O=2kpi/3 (k )

or O]-pi;pi[ donc le sinus est nul pour k=-1;0;1
or pour k=1 et -1 on retrouve j et j^2 donc sinus non nul

pour k=0
z=1
donc f(z)=1/3
donc l'image du cercle est le point M d'affixe (1/3)

sauf erreur

Même méthode et résultat que aicko !

Remarque :

si z=-1+i0=-1
N(-1,0)

N'=f(N)
f(-1)=1/(1-1+1)=1/2
N'(1/2,0)

donc l'image de -1 n'est pas M(1/3,0)

Par ailleurs, mon hyperbole non plus

Philoux

oups

Remarque :

si z=-1+i0=-1
N(-1,0)

N'=f(N)
f(-1)=1/(1-1+1)=1
N'(1,0)

donc l'image de -1 n'est pas M(1/3,0)

L'hyperbole peut-être

Philoux

C'est le point M(1/3,0) que si k=0 sinon c'est le cercle ... Un cercle avec un rayon de valeur , il faudrait etudier cette fonction, mais ca donne bien l'yperbole non ?

Amicalement

Sauf erreur : y²=(x-1)(3x-1)

ou (x-2/3)² -y²/3 = 1/9

Philoux

ok jmix90 16:12

ce n'est le point M que pour une valeur particulière de k

Philoux

et
[2pi]

Etudions le signe du rapport : qui est le signe du produit...

sin(3O/2)sin(O/2)=[cos(2O/2)-cos(4O/2)]=[cos(O)-cos(2O)]=[cos(O)-1]=-(cosO-1)(cosO+

Conclusion: pour O ds ]-pi;-2pi/3]U[2pi/3;pi] sin(3O/2)sin(O/2)0
            pour O ds [-2pi/3;2pi/3] sin(3O/2)sin(O/2)0

ainsi
Pour O ds ]-pi;-2pi/3]U[2pi/3;pi] [2pi]

pour O ds [-2pi/3;2pi/3] [2pi]

d'ou

Pour O ds ]-pi;-2pi/3]U[2pi/3;pi]

pour O ds [-2pi/3;2pi/3]  
dans les deux cas nous obtenons le cercle de centre O et de rayon

grosse erreur
O varie donc le rayon n'est pas constant

notons
Z=1+z+z^2

f(z)===

or lZl^2=4x^2+4x+1  (d'apres JP)

donc f(z)===



on pose x=cost  y=sint  (t ds ]-pi;pi])




en posant

en étudiant cette courbe paramétrée pour t ds ]-pi;pi]
on obtient cette courbe :

Oui c'est ce que je disais dans mon post, c'est un cercle a rayon non constant... La dernière methode de aicko, je pense que c'est la bonne, moi je peux pas trop faire de calcul je suis au boulot actuellement...

Amicalement,

Je ne crois pas aicko

car l'image de (z=+i et z= -i) doit fournir (-i et +i)

or, selon ta courbe, +i et -i ne sont pas accessibles

Philoux

je crois que ton erreur est dans zbarre² où tu as un +y² au lieu d'un -y²

sauf erreur

Philoux

Bonjour tout le monde;
en remarquant que:
on peut écrire que
ainsi en notant et l'image cherchée n'est autre que la courbe paramétrée

c'est exactement la courbe qu'a dessinée philoux

Bonjour elhor_abdelali,

Mais alors pour z=i et z=-i ??

Amicalement,

>jmix90 17:37

pour z=i t=pi/2 on a bien f(i)=-i

idem pour -i (t=-pi/2)

Philoux

Bonjour jmix, tu as et ils sont bien sur la courbe de philoux (les points et )
donc pas de problème

Mais alors la courbe representative que tu as faite est fausse ? (Tu l'as fait comment au fait, du latex ?)

oh on parle de la première courbe lol Merci !

philoux,en coordonnées cartésiennes ça donne plutot:
qui est effectivement l'équation d'une hyperbole

Si l'on veut une relation y=f(x) à partir des relations fournies par elhor 17:32, on peut effectuer :

(x-1)(3x-1)= (cost/(2cost+1)-1)(3cost/(2cost+1)-1)

= ( (cost-2cost-1)/(2cost+1) )( (3cost-2cost-1)/(2cost+1) )

= (-cost-1)(cost-1)/(2cost+1)²

= -(cos²t-1)/D²

= sin²t/D²

= y²

d'où y = +/- V(x-1)(3x-1)

ou sous sa forme "habituelle"

(x-2/3)² - y²/(V3)² = (1/3)²

Philoux

Oui petite distraction dans le calcul de l'argument.

Voila la version corrigée.

z = x + iy

avec x²+y² = 1

z² = x² - y² + 2ixy

1+z+z² = 1 + x + x² - y² +i.(y + 2xy)

|1+z+z²|² = (1 + x + x² - y²)² + (y + 2xy)²

|1+z+z²|² = (1 + x + x² - y²)² + y² + 4x²y² + 4xy²

|1+z+z²|² = (1 + x + x² - (1-x²))² + 1-x² + 4x²(1-x²) + 4x(1-x²)

|1+z+z²|² = (x + 2x²)² + 1-x² + 4x² - 4x^4 + 4x- 4x³

|1+z+z²|² = x² + 4x^4 + 4x³ + 1-x² + 4x² - 4x^4 + 4x- 4x³

|1+z+z²|² = 4x² + 4x + 1

|1+z+z²| = V(4x² + 4x + 1)

|1/(1+z+z²)| = 1/V(4x² + 4x + 1)

|1/(1+z+z²)| = 1/(2x + 1)
-----
1+z+z² = 1 + x + x² - y² +i.(y + 2xy)

Avec |1+z+z²| = 2x+1, on a:

cos(a) = (1 + x + x² - y²)/(2x + 1)
sin(a) = y(1+2x)/(2x+1)  

cos(a) = x.(1 + 2x)/(2x + 1) = x
sin(a) = y

arg(1/(1+z+z²)) = -a

cos(-a) = x
sin(-a) = -y = -/+ V(1-x²)

f(z) = x/(2x + 1) + i.[1/(2x + 1)]*(-/+ V(1-x²))

Si on met f(z) sous la forme f(z) = X + i.Y, il vient=

X = x/(2x + 1)
Y = -/+ [1/(2x + 1)].V(1-x²)

X² = x²/(2x+1)²
Y² = (1-x²)/(2x+1)²

Y² = X².(1-x²)/x²

Or
X = x/(2x + 1)
X(2x+1) = x
x(1-2X) = X
x = X/(1-2X)

Y² = X².(1 - X²/(1-2X)²)/(X²/(1-2X)²)
Y² = X².((1-2X)² - X²)/X²
Y² = 1+4X²-4X-X²
Y² - 3X² + 4X - 1 = 0

C'est l'équation d'une hyperbole ...
-----
Sauf nouvelle distraction.  

Bonjour elhor

Ton post du 25/08/2005 à 18:03

philoux,en coordonnées cartésiennes ça donne plutot: y²=(2x-1)(3x-1)
qui est effectivement l'équation d'une hyperbole

laisserait entendre que le pt (1/2,0) est sur la courbe, ce qui ne semble pas être le cas.

Philoux

Je pense que l'équation de l'hyperbole est bien celle que j'ai donnée, soit: Y² - 3X² + 4X - 1 = 0

On peut aussi l'écrire:

Y² = 3X² - 4X + 1

Y² = (X-1).(3X-1)
-----

En écrivant f(z)=(1-z^3)/(1-z), z=e^it, et un peu de calcul trigonométrique, on arrive à l'équation en polaire r=1/(1+2cost) qui est quand même plus jolie, même si c'est la même hyperbole!

Peut-être encore plus jolie comme ceci:

r = |1/(1+2cost)|

Mais tout dépend de ce qu'on veut en faire.

>piepalm

Ton expression polaire s'obtient très rapidement avec les expressions d'elhor le 25/08/2005 à 17:32 qui avait remarqué que zbarre= 1/z pour |z|=1 et que f(z)=zbarre/(z+zbarre+1)

x(t)=cos(t)/(1+2cos(t))
y(t)=-sin(t)/(1+2cos(t))

=> r=1/(1+2cos(t)) et comme e=2>1 cette conique est une hyperbole.

Philoux

>J-P 15:28

Sauf erreur, dans le cas d'une équation polaire, le r peut être négatif, non ?

merci de me corriger

le fait de mettre les valeurs absolues ne donnent qu'une partie de l'hyperbole non ?

Philoux

Philoux,

Pour moi, r est positif, mais t peut être n'importe quoi.

Avec t dans [0 ; 2Pi[, on peut avoir des points représentatifs dans les 4 quadrants.

Mais ce n'est que mon opinion de non matheux.

Je retire ce que je viens de dire.

Je retire ce que je viens de dire, mais je ne suis quand même pas satisfait.

En polaire, une branche est donnée par:

r = |1/(1+2cos(t)|
et l'autre par
r = |1/(1-2cos(t)|

avec t dans [0 ; 2Pi[

Mais je me trompe peut-être.

J-P

Il me semble que ces hyperboles vertes et rouges fournissent trop de points images.

A moins que je ne t'ai pas compris

L'image de quelques points (i, -i) semble confirmer la courbe rouge

Philoux

En coordonnées polaires, r peut être négatif, et il n'y a pas à mettre de valeurs absolues: seule l'hyperbole rouge du message de philoux convient.
A noter pour les amateurs que la transformée par inversion de cette hyperbole est le limaçon de Pascal d'équation r=1+2cost (dont la boucle intérieure correspond bien à des valeurs négatives de r...

Hola...ça devient intéressant


piepalm : qu'est-ce que la "transformée par inversion" ?

Philoux

Je crois que je suis en train de trahir mon age! visiblement l'inversion ne s'enseigne plus...
Etant donné un point O, c'est la transformation ponctuelle qui fait correspondre à tout point M le point N aligné avec O et M tel que OM*ON=k (OM et ON orientés)
L'inversion est bien sûr involutive; la transformée d'une droite est un cercle passant par O (et réciproquement); celle d'un cercle ne passant pas par O est un autre cercle.
L'inversion a la propriété de conserver les angles (des tangentes) et permet quelques jolies démonstration de géométrie. Elle est particulièrement simple à manipuler en coordonnées polaires: l'inversion de centre l'origine, de puissance 1, transforme la courbe d'équation r=f(t) en la courbe r=1/f(t)...

>piepalm

merci pour cette info.

Quelle(s) serai(en)t le(s) utilisation(s) pratique(s) de l'inversion ?

En physique , par exemple ?

Merci

Philoux

Je pense que les applications sont surtout en géométrie pure. Je ne suis pas un pro de l'enseignement des mathématiques, mais il me semble que la relation d'Euler sur les rayons des cercles inscrit et circonscrit, ou le théorème de Ptolémée (condition pour que 4 points soient cocycliques) sont très simples à démontrer en l'utilisant. Idem pour les questions de cercles orthogonaux, et bien sûr les courbes en polaire...
A signaler la réédition chez J. Gabay de la Géométrie de Deltheil et Caire (pas donné!) qui fait un large point sur le sujet

merci

Quel est le niveau prérequis pour ce livre ?

Philoux

La première partie est un cours de terminale, années 50...