Bonjour.
J'aimerais savoir si fof peut être strictement négative avec f une fonction strictement croissante et continue de R dans R telle que pour tout réel x inférieur a L on ait f(x)<0
Merci de me donner des idees.
Bonjour
L'énoncé ne me semble pas rigoureusement exprimé. En effet, est-ce que f(L) = 0?
Quoi qu'il en soit, pour une fonction f strictement croissante, fof est également strictement croissante.
Ainsi, si pour tout réel x inférieur à L on ait f(x)<0, alors fof est peut être strictement négative lorsque f n'est pas minorée par L (càd qu'il existe un réel a tel que f(a) < L voire même il suffit qu'il existe un réel a tel que f(a) = L)
Certes f(L)=0, je précise même que L est la limite réelle de la fonction f en moins l'infini.
Mais on ne peut pas affirmer qu'il existe un réel a tel que f(a)=L.
Pour tout réel x on a f(x)>L.
Donc pour tout réel x, fof(x) = f(f(x)) > f(L)=0 (puisque f(x) > L et f est strictement croissante)
fof est donc strictement positive!
Oui c'est vrai mais est il possible d'avoir f(L)=0 ?
Comme f est strictement croissante elle est injective.
Du théorème de la limite monotone on est certain qu'elle a une limite en moins l'infini soit moins l'infini soit L.
comme f'(x)=f(f(x))
J'ai déjà prouve que la limite en moins l'infini de f' est nulle donc la limite de f en moins l'infini est le réel L avec f(f(L))=0.
Mon objectif est de prouver que ce n'est pas possible et donc qu'il n'existe pas de fonction strictement croissante de classe C^1 de R dans R telle que
f'(x)=f(f(x)).
Pour cela je voulais montrer que si f(L)=0 alors f est négative pour x<L et fof négative sur un intervalle.
Je suis confus et ne comprends pas ton dernier message. Que veux-tu dire par f'? est-ce la dérivée de f? Si c'est le cas, tu n'en avais jamais parlé dans l'énoncé de ton problème. Peux-tu citer l'énoncé complet, sinon expliquer ce que tu veux dire par f'.
Comme j'ai avance j'ai propose un texte simplifie.
Voici l'objet de ma réflexion.
Montrer qu'il n'existe pas de fonction f de classe C^1 de R dans R strictement croissante telle que f'=fof.
f' désigne la fonction dérive de f.
J'ai montre que f'>0 et que sa limite en moins l'infini est nulle.
Je raisonne par l'absurde.
La fonction identique ne convient pas, a priori on peut faire confiance au texte.
Si on montre que la fonction f est strictement positive alors comme f(L)=0 on aura notre contradiction.
je ne vois pas pourquoi ta supposition pousserait à ce que f soit strictement positive. en plus tu écris ici que f(L) =0, et dans ton précédent message tu écrivais f(f(L)) = 0. décide-toi. je présume que c'est f(L) = 0. je présume aussi que c'est également par l'absurde que tu montres que la limite en moins l'infini de f' est nulle. Peux-tu nous montrer comment tu le démontres.
Pour tout réel x, on a f'(x) positif car f est strictement croissante.
f'est strictement croissante car f'=fof et f est strictement croissante.
Théorème de la limite monotone justifie que f ' a une limite L en moins l'infini.
Comme f'(x) est positif , alors L est positif.
Si L est strictement positif et f'(x)>L alors on intègre sur [x,L], on obtient :
f(L)-f(x)>(L-x)L, donc f(x)<f(L)+(x-L)L
On fait tendre x vers moins l'infini L = moins l'infini contradictoire avec L>0.
On a f'= fof donc en moins l'infini on a 0=f(L).
Fais attention à ta rédaction. Tu introduis la lettre L comme la limite en moins l'infini à la fois de f et de f'.
On montre que si f' tend vers l en plus l'infini alors il en est de même pour f(x)/x
Je pense que cela reste vrai en moins l 'infini.
pour le point 2 (2. Démontrer par l'absurde qu'en plus l'infini, f ne peut pas tendre vers plus l'infini), on pourrait également utiliser le fait que:
fofof=f'of=fof'
Le point 4 s'il est vrai alors la fonction f' serait positive, strictement croissante et de limite nulle en plus l'infini donc f' est la fonction nulle sur R ....
par l'absurde. fais dans l'ordre les points 2 et 3. à moins que tu veux que je te fasse tout le travail...
Bonjour
La fonction f' est croissante donc f est convexe donc pour tout réel a on a
f(x)>=f'(a)(x-a)+f(a).
Comme f'(a)>0 alors la limite de f en plus l'infini est plus l'infini , donc la limite de f' en plus l'infini est plus l'infini puisque f'=fof.
La question est qui a raison ?
Ok. Je vais faire la démo qu'il est absurde que f' tende vers plus l'infini.
D'après la formule de convexité :
f(2x))>=f'(x)x+f(x)
Travaillons dans le voisinage de plus l'infini (de x).
comme f' tend vers plus l'infini, tu dois aisément pouvoir démontrer qu'à partir d'un certain rang, f(x)>2x
f étant croissante, par conséquent (toujours au voisinage de plus l'infini) :
fof(x) > f(2x)>=f'(x)x+f(x)
D'où : fof(x) = f'(x) > f'(x)x+f(x)
L'absurdité est démontrée puisque dans le voisinage de plus l'infini, x est bien évidemment supérieur à 1 et f(x) est sûrement positive.
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :