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Niveau maths spé
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Fonction composée

Posté par
aduf
28-02-13 à 08:36

Bonjour.

J'aimerais savoir si fof peut être strictement négative avec f une fonction strictement croissante et continue de R dans R  telle que pour tout réel x inférieur a L on ait f(x)<0

Merci de me donner des idees.

Posté par
abou-salma
re : Fonction composée 28-02-13 à 09:40

Bonjour

L'énoncé ne me semble pas rigoureusement exprimé. En effet, est-ce que f(L) = 0?
Quoi qu'il en soit, pour une fonction f strictement croissante, fof est également strictement croissante.

Ainsi, si pour tout réel x inférieur à L on ait f(x)<0, alors fof est peut être strictement négative lorsque f n'est pas minorée par L (càd qu'il existe un réel a tel que f(a) < L voire même il suffit qu'il existe un réel a tel que f(a) = L)

Posté par
aduf
re : Fonction composée 28-02-13 à 21:13

Merci pour l'information

Posté par
aduf
re : Fonction composée 01-03-13 à 19:14

Certes f(L)=0, je précise même que L est la limite réelle de la fonction f en moins l'infini.

Mais on ne peut pas affirmer qu'il existe un réel a tel que f(a)=L.

Pour tout réel x on a f(x)>L.

Posté par
abou-salma
re : Fonction composée 01-03-13 à 23:33

Donc pour tout réel x, fof(x) = f(f(x)) > f(L)=0 (puisque f(x) > L et f est strictement croissante)

fof est donc strictement positive!

Posté par
aduf
re : Fonction composée 02-03-13 à 08:39

Oui c'est vrai mais est il possible d'avoir f(L)=0 ?

Comme f est strictement croissante elle est injective.

Du théorème de la limite monotone on est certain qu'elle a une limite en moins l'infini soit moins l'infini soit L.

comme f'(x)=f(f(x))

J'ai déjà prouve que la limite en moins l'infini de f' est nulle donc la limite de f en moins l'infini est le réel L avec f(f(L))=0.

Mon objectif est de prouver que ce n'est pas possible et donc qu'il n'existe pas de fonction strictement croissante de classe C^1 de R dans R telle que

f'(x)=f(f(x)).

Pour cela je voulais montrer que si f(L)=0 alors f est négative pour x<L et fof négative sur un intervalle.

Posté par
abou-salma
re : Fonction composée 02-03-13 à 09:38

Je suis confus et ne comprends pas ton dernier message. Que veux-tu dire par f'? est-ce la dérivée de f? Si c'est le cas, tu n'en avais jamais parlé dans l'énoncé de ton problème. Peux-tu citer l'énoncé complet, sinon expliquer ce que tu veux dire par f'.

Posté par
carpediem
re : Fonction composée 02-03-13 à 09:56

salut

f(x) = x convient ...

Posté par
abou-salma
re : Fonction composée 02-03-13 à 09:58

salut carpediem
xox=x
x'=1

Posté par
aduf
re : Fonction composée 02-03-13 à 10:36

Comme j'ai avance j'ai propose un texte simplifie.

Voici l'objet de ma réflexion.

Montrer qu'il n'existe pas de fonction f de classe C^1 de R dans R strictement croissante telle que f'=fof.

f' désigne la fonction dérive de f.

J'ai montre que f'>0 et que sa limite en moins l'infini est nulle.

Je raisonne par l'absurde.

La fonction identique ne convient pas, a priori on peut faire confiance au texte.

Si on montre que la fonction f est strictement positive alors comme f(L)=0 on aura notre contradiction.

Posté par
abou-salma
re : Fonction composée 02-03-13 à 11:15

je ne vois pas pourquoi ta supposition pousserait à ce que f soit strictement positive. en plus tu écris ici que f(L) =0, et dans ton précédent message tu écrivais f(f(L)) = 0. décide-toi. je présume que c'est f(L) = 0. je présume aussi que c'est également par l'absurde que tu montres que la limite en moins l'infini de f' est nulle. Peux-tu nous montrer comment tu le démontres.

Posté par
aduf
re : Fonction composée 02-03-13 à 12:17

Pour tout réel x, on a f'(x) positif car  f est strictement croissante.

f'est strictement croissante car f'=fof et f est strictement croissante.

Théorème de la limite monotone justifie que f ' a une limite L en moins l'infini.

Comme f'(x) est positif , alors L est positif.

Si L est strictement positif et f'(x)>L alors on intègre sur [x,L], on obtient :

f(L)-f(x)>(L-x)L, donc f(x)<f(L)+(x-L)L

On fait tendre x vers moins l'infini L = moins l'infini contradictoire avec L>0.

On a f'= fof donc en moins l'infini on a  0=f(L).

Posté par
aduf
re : Fonction composée 02-03-13 à 12:22

Soit a un réel strictement positif, ce serait mieux d'intergrer sur [x,a]

Posté par
abou-salma
re : Fonction composée 02-03-13 à 13:13

Fais attention à ta rédaction. Tu introduis la lettre L comme la limite en moins l'infini à la fois de f et de f'.

Posté par
aduf
re : Fonction composée 02-03-13 à 13:33

On montre que si f' tend vers l en plus l'infini alors il en est de même pour f(x)/x

Je pense que cela reste vrai en moins l 'infini.

Posté par
abou-salma
re : Fonction composée 02-03-13 à 17:31

Citation :
On montre que si f' tend vers l en plus l'infini alors il en est de même pour f(x)/x
Je ne comprends rien à ce que tu dis. Et je te répète que ta rédaction est totalement confuse. On ne sait plus ce que c'est L. Est-ce la limite de f en moins l'infini ou bien la limite de f' en moins l'infini.


******************

Voici ce que je propose

On suppose f'=fof. Noter qu'alors f admet alors une dérivée seconde : f"=f'of * f', même si je ne pense pas que cette observation est vraiment utile pour la suite :

1. Noter que f' est strictement croissante et strictement positive
2. Démontrer par l'absurde qu'en plus l'infini, f ne peut pas tendre vers plus l'infini (f' tendrait alors également vers plus l'infini, ce qui rendrait la croissance de f trop grande pour que f'=fof. En effet, dans ce cas, f croîtrait trop vite, et fof croîtrait encore plus vite, ce qui rendrait f croître encore plus plus plus vite (que sa propre croissance)...
3. En déduire qu'en plus l'infini, f tend vers une limite finie f+
4. En déduire qu'en plus l'infini, f' tend vers 0
5. En déduire que c'est absurde

Posté par
abou-salma
re : Fonction composée 03-03-13 à 06:51

pour le point 2 (2. Démontrer par l'absurde qu'en plus l'infini, f ne peut pas tendre vers plus l'infini), on pourrait également utiliser le fait que:
fofof=f'of=fof'

Posté par
aduf
re : Fonction composée 03-03-13 à 10:50

Le point 4 s'il est vrai alors la fonction f' serait positive, strictement croissante et de limite nulle en plus l'infini donc f' est la fonction nulle sur R ....

Posté par
abou-salma
re : Fonction composée 03-03-13 à 11:52

ben oui. Et c est ce qui justifie la déduction du point 5

Posté par
aduf
re : Fonction composée 03-03-13 à 12:08

Comment on montre que la limite en plus l'infini de f' est nulle ?

Posté par
abou-salma
re : Fonction composée 03-03-13 à 12:32

par l'absurde. fais dans l'ordre les points 2 et 3. à moins que tu veux que je te fasse tout le travail...

Posté par
aduf
re : Fonction composée 04-03-13 à 18:24

Bonjour

La fonction f' est croissante donc f est convexe donc  pour tout réel a on a

f(x)>=f'(a)(x-a)+f(a).

Comme f'(a)>0 alors la limite de f en plus l'infini est plus l'infini , donc la limite de f' en plus l'infini est plus l'infini puisque f'=fof.

La question est qui a raison ?

Posté par
abou-salma
05-03-13 à 00:52

Citation :
La question est qui a raison ?
Aucun de nous deux. Puisque nous raisonnons par l'absurde. As-tu oublié?

Posté par
abou-salma
re : Fonction composée 05-03-13 à 04:49

Ok. Je vais faire la démo qu'il est absurde que f' tende vers plus l'infini.

D'après la formule de convexité :
f(2x))>=f'(x)x+f(x)

Travaillons dans le voisinage de plus l'infini (de x).

comme f' tend vers plus l'infini, tu dois aisément pouvoir démontrer qu'à partir d'un certain rang, f(x)>2x
f étant croissante, par conséquent (toujours au voisinage de plus l'infini) :
fof(x) > f(2x)>=f'(x)x+f(x)

D'où : fof(x) = f'(x) > f'(x)x+f(x)
L'absurdité est démontrée puisque dans le voisinage de plus l'infini, x est bien évidemment supérieur à 1 et f(x) est sûrement positive.

Posté par
aduf
re : Fonction composée 05-03-13 à 05:41

Merci

Posté par
carpediem
re : Fonction composée 05-03-13 à 18:07

l'énoncé initial était incomplet .... mais tu étais en de bonnes mains ....

Posté par
abou-salma
re : Fonction composée 05-03-13 à 18:14

Merci Carpediem pour ton amitié et ton estime. @+

Posté par
carpediem
re : Fonction composée 05-03-13 à 18:22



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