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Niveau Licence-pas de math
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Fonction composée

Posté par
max55555
14-12-23 à 19:28

Bonsoir, j'ai du mal sur un exercice de maths à faire et je galère sur 3 questions en particulier.

Voici l'énoncé: Soit l?intervalle I=]? e, e[ où e = exp(1), et f la fonction définie par: f (x) = ln (e2 ? x2).

a- Montrer que f est bien définie et dérivable sur I.
b- Calculer la dérivée f ?(x) et étudier son signe.
c- Calculer les limites:
lim f(x)      et.       lim f(x)
x ? -e                    x ? e
et x > -e                 x < e

Pour la a j'ai dis que le domaine de définition de ln=]0; +inf[ et que: e² - x²=0 après j'ai calculé et j'ai trouvé x=e et x=-e avec e et -e exclus donc ]-e; 0[U]0; e[ qui correspond donc bien à ]? e, e[.

Pour la b j'ai calculé la dérivée donc f(g(x))=g'(x)×f'g(x))
avec f(x)=ln(x);  f'(x)=1/e² - x² et g(x)=e² - x²;  g'(x)=-x2 et en calculant je trouve f(g(x))=-2x × 1/e² - x² (e² - x²) = -2x

Le problème c'est que -2x ça a pas l'air d'être la bonne réponse mais j'ai rien trouvé d'autre.

Et pour la c j'ai rien trouvé puisque à chaque fois je trouve un ln d'un nombre négatif ce qui est impossible. Si quelqu'un pouvait m'aider SVP.

* Modération > niveau modifié en adéquation avec le profil *

Posté par
Leile
re : Fonction composée 14-12-23 à 20:04

bonsoir,
je ne fais que passer..
en effet ta dérivée n'est pas correcte

(ln(u))'  =   u'/u       en appliquant, que trouves tu ?

Posté par
max55555
re : Fonction composée 14-12-23 à 20:09

bonsoir! si je recalcule je trouve (ln(u))'= -2x/e2 - x2

mais c'est que ça? je pensais qu'il fallait appliquer une formule de dérivée composée.

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction composée 14-12-23 à 20:11

Bonsoir à tous les deux
En passant aussi ....
Attention le raisonnement pour l'ensemble de définition n'est pas juste ...

Posté par
Leile
re : Fonction composée 14-12-23 à 20:14

f'(x)=  -2x / (e² - x²)    avec des parenthèses, oui, c'est ça.

malou, je ne peux pas rester : tu peux poursuivre ?

Posté par
max55555
re : Fonction composée 14-12-23 à 20:23

merci pour la dérivée!
pour la a j'ai calculé e2 - x2 = 0 et je trouve x=e et x=-e comme "valeurs interdites" mais après je ne vois pas comment montrer que la fonction est "définie" et dérivable sur l'intervalle.

Posté par
Leile
re : Fonction composée 14-12-23 à 20:27

ln(x)  est définie pour x>0
ln(u) est définie   pour  u > 0
il faut donc étudier le signe de e² - x²    

Posté par
max55555
re : Fonction composée 14-12-23 à 20:30

sachant que x est au carré normalement e2 - x2 est toujours positif

Posté par
Leile
re : Fonction composée 14-12-23 à 20:35

écris   u(x) =  -x²  +  e²
c'est un polynôme du second degré ...
quand est il positif ?

Posté par
max55555
re : Fonction composée 14-12-23 à 21:00

il faut que delta soit supérieur à 0 donc faut trouver le minimum et l'extremum du polynome?

Posté par
carpediem
re : Fonction composée 14-12-23 à 21:08

salut

simplement reconnaitre une identité remarquable : e^2 - x^2 = ...

Posté par
Leile
re : Fonction composée 14-12-23 à 21:08

tu devrais revoir ton cours de 1ère sur le second degré !

le polynôme est sous la forme ax² + bx + c  
avec a=-1     b=0   c= e²
il a deux racines   x = -e   et  x=e  que tu as calculées.
comme a est <0,   le polynôme est positif entre les racines.
donc  e² - x²  strictement  >   0   pour x appartient à  ]-e ; e[

tu en déduis le domaine de définition de f(x)

Posté par
max55555
re : Fonction composée 14-12-23 à 21:21

aah ok en fait la question demande juste le domaine de définition et de dérivabilité de la fonction, il est juste formulé autrement.
oui ok donc on a:
e2 - x2 =0
-x2 = -e2
x2 = e2
donc x = e et x = -e

et pour le domaine de définition on a Df = R

Posté par
max55555
re : Fonction composée 14-12-23 à 21:24

oui et du coup pour l'identité remarquable ça donne (e-x)(e+x) qui donne les racines x=e et x=-e

Posté par
max55555
re : Fonction composée 14-12-23 à 21:33

et pour les racines on a Δ=b2-4ac qui donne après calcul 4e2 c'est positif donc on a les 2 racines.
on a x1=(-b-√Δ)/2a   et    x2=(-b+√Δ)/2a ce qui donne x1=e et x2=-e

Posté par
Leile
re : Fonction composée 14-12-23 à 21:47

max55555,

je ne suis pas sûre que tu lises bien mes messages....

on te demande de vérifier le domaine de définition de f(x)
f(x) =  ln (e² - x²)
f(x) est définie quand    e² - x² est strictement positif.

e² - x² = 0      donne    x=-e  et  x=e  
ce sont les racines du polynome  e²-x²
(tout ton calcul avec  delta est inutile... )

on  en déduit que e²-x²  est strictement positif  I = ]-e ; e[

tu en déduis que "et pour le domaine de définition on a Df = R"
je ne comprends pas ce que tu veux dire.
f(x) est définie quand    e² - x² est strictement positif.
donc f(x) est définie sur   ]-e ; e[      pas sur R....

ca c'était pour le domaine de définition de f(x).
maintenant, est elle dérivable sur I ?

Posté par
max55555
re : Fonction composée 14-12-23 à 22:24

euh alors pour la dérivabilité j'avais fait un tableau de variations avec f et sa dérivée et j'avais trouvé l'intervalle  ]-e; 0[U]0; e[

Posté par
Leile
re : Fonction composée 14-12-23 à 22:48



Théorème  : Soit une fonction u dérivable et strictement positive sur D. La  fonction ln(u) est alors dérivable sur D et : (ln u)' = u'/u

ici, u est dérivable et strictement positive sur I,  donc f(x) est dérivable sur I.

la question 1 est finie.

il reste la question 3..

Posté par
max55555
re : Fonction composée 14-12-23 à 22:51

oui je vais m'en occuper mrc pour votre aide

Posté par
Leile
re : Fonction composée 14-12-23 à 22:57

je t'en prie. bonne nuit.



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