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Fonction constante presque partout
Bonjour à tous,
Je suis bloqué dans une démonstration que j'aimerais réussir à faire, et je pense y être presque.
Je souhaite prouver que si f est une fonction localement sommable sur I, et si
où D(I) est l'ensemble des fonctions C infini à support compact, alors f est constante presque partout.
D'abord, j'ai du construire une fonction dans D(I) dont la primitive est aussi dans D(I)
Pour ça, je considère dans D(I), et h dans D(I) d'intégrale 1
Si on pose on a
C infini à support compact et d'intégrale nulle donc il existe une unique primitive
de
à support compact
Cette construction est générale et peut être appliquée à tout élément de D(I)
Maintenant, on sait que
C'est là où ça coince :
Je pense qu'il faut utiliser le théorème de Fubini (les hypothèses sont vérifiées si je ne m'abuse), mais je crois que je me trompe dans la permutation des intégrales, puisqu'à la fin je trouve
Or je pourrais conclure s'il y avait plutôt un et non pas un h(u) dans la deuxième intégrale
Quelqu'un voit-il l'erreur ?
Merci d'avance
Désolé petite erreur à la fin
Or je pourrais conclure s'il y avait plutôt un \psi (u) et non pas un h(u) dans la deuxième intégrale
Je voulais dire s'il n'y avait pas de f(u)
Je ne comprend pas des complications
Tu as une application mesurable f d'un intervalle ouvert I de 
vers telle que 
K |f| < +
pour tout compact .
Comme D(I) est stable par dérivation tu supposes donc que f.u = 0 pout tout u de D(
)
Ca ne te suffit pas , pour voir que f = 0 (
-pp) ?
J'aimerais bien que cela soit aussi simple, seulement je n'en suis pas si sûr.
Parce qu'on me demande de prouver que f = C p.p et non pas 0 p.p
D'ailleurs, si je prends une application constante, elle est bien solution du problème posé
Je pense que cela vient du fait que si on note d le morphisme de dérivation,
d(D(I)) 
D(I) car si 
D(I), elle admet une primitive dans D(I) ssi d =0
1.Les ensembles E = { u D | u = 0 } et F = { v ' | v } sont égaux .
(Il est clair que F 
E et si u E , v : x 
]-,x] u est un élément de D tel que v ' = u .)
2.Soit w D tel que w = 1 .
21. Si u D , u - ( u).w est dans E .Il existe donc v D(I) tel que u = ( u).w + v '.
22. Si T D' et si T ' = 0 alors pour toute u de D on a : T(u) = ( u).T(w) . Autrement dit , si on pose c = T(w) , on a T = Tc : u c.u .
23 Si f est localement intégrable et (Tf) ' = 0 alors Tf = Tc ou encore Tf-c = 0 .
Cela implique que f = c ( pp )
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