Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

fonction continu, fonction en escalier

Posté par
psy
15-10-10 à 17:16

Bonjours à tous,
Je commence un cour s'intitulant "intégrales et série" pour lesquels mes notions de bases semblent largement insuffisantes, quelqu'un peut-îl m'éclairer?
1) peut-on dire d'une fonction continue qu'elle est continue par morceaux ?
2) que veut dire uniformément approchable par des fonctions en escalier ?
3) qu'est-ce qu'une "famille d'ouverts"
4) qu'est-ce qu'une boule ? en math,pas de neige
5) qu'est-ce que la propriété de Borel-Lebesgue?
Est-ce que ces notions sont vraiment des bases supposé connus de tout les étudiant en deuxième année de licence ?
Je remercie toute personne pouvant m'apporter une ou plusieurs réponses.

Posté par
lolo271
re : fonction continu, fonction en escalier 15-10-10 à 17:24

Bonjour,

1) quelles sont tes définitions de continues par morceaux ?

2)f  est approchable uniformément sur un ensemble E par des fonctions en escalier si quelques soit  e>0, il existe  une fonction en escalier  f(e)  telle que  pour tout  x  de  E,  l f(x)- f(e)(x) l < e .

3)  "un ensemble" d'ouverts (souvent indexés ....par un ensemble d'indices)

4)  l'ensemble des points à une distance au plus  r  fixée d'un centre c  = boule de centre  c  et de rayon r.
si la distance est stricte c'est la boule ouverte

5) j'ai oublié !

Posté par
lolo271
re : fonction continu, fonction en escalier 15-10-10 à 17:26

Borel Lebesgue dans  Rn  les fermés bornés sont les compacts

M'est avis que triater une seule question à la fois te serais plus profitable ?

Posté par
lolo271
re : fonction continu, fonction en escalier 15-10-10 à 17:30

oui ces notions sont suposées connues de tout étudiant de deuxième année .'enfin en première année le niveau est parfois tellement bas que certains enseignants ont jetés l'éponge avec le reste de leurs ambitions pédagogiques)

Posté par
Camélia Correcteur
re : fonction continu, fonction en escalier 15-10-10 à 17:52

Bonjour

Il me semble que ce que l'on appelle la propriété de Borel-Lebesgue est la caractérisation suivante:

Un espace K est compact si et seulement si de tout recouvrement de K par des ouverts on peut extraire un recouvrement fini.

Explication: Si (U_i)_i\in I est une famille d'ouverts telle que K\subset \bigcup_{i\in I}U_i alors il exite un entier n et des indices i_1,...,i_n tels que K\subset U_{i_1}\cup...\cup U_{i_n}

Bien sur, dans R^n c'est équivalent à la caractérisation de lo271

Posté par
lolo271
re : fonction continu, fonction en escalier 15-10-10 à 17:58

Camélia je crois que ce que tu donnes est la définition d'un compact en général (dans un espace séparé) ensuite Borel Lebesgue c'est un théorème qui prouve que ça donne les fermés bornés. Enfin je peux me tromper.

Posté par
Camélia Correcteur
re : fonction continu, fonction en escalier 15-10-10 à 18:02

De mon temps, on appelait ceci la propriété de Borel-Lebesgue, on appelait propriété de Bolzano-Weierstrass la caractérisation d'un compact métrique avec les suites extraites, et on aboutissait aux fermés bornés dans R^n. Comme il était question de famille d'ouverts plus tôt, je crois bien qu'il s'agit de ça, surtout s'il est question de fonctions en escalier et d'intégrales... mais moi aussi je peux me tromper!

Posté par
Arkhnor
re : fonction continu, fonction en escalier 15-10-10 à 18:02

Bonjour.

Je suis d'accord avec Camélia, pour moi, la propriété de Borel-Lebesgue, c'est la propriété des recouvrements.
Historiquement ça se tient, puisque cette propriété a été mise en évidence pour montrer que la mesure de Lebesgue d'un intervalle est bien égale à sa longueur.

Mais si cette propriété est exigible en première année, alors le niveau a été sacrément relevé.

Néanmoins, je vois souvent le nom de théorème de Heine-Borel-Lebesgue pour la caractérisation des compacts en dimension finie. (souvent dans la littérature anglophone)

Posté par
Camélia Correcteur
re : fonction continu, fonction en escalier 15-10-10 à 18:04

Merci Arkhnor

On voit la différence d'age... on le faisait en première année... au siècle dernier!

Posté par
Arkhnor
re : fonction continu, fonction en escalier 15-10-10 à 18:14

En revanche, je pense qu'on se rattrape un peu plus tard.
A mon avis, le niveau en L3-Master n'est pas fondamentalement différent de celui d'il y a quelque années. (je peux me tromper aussi, je n'y étais pas )

Posté par
psy
re : fonction continu, fonction en escalier 15-10-10 à 20:05

Merci à vous trois pour ce joli débat qui, s'il ne m'a pas encore vraiment illuminé, m'a bien détendu.
Néanmoins je me permets de réitérer au moins une de mes questions (je suis ton conseil lolo271 de ne traiter qu'une question à la fois).
Dans la question :"qu'est-ce qu'une famille d'ouvert?" c'est le mot ouvert qui me pose problème pas le mot famille.
Merci encore pour le temps que vous m'avez consacré.

Posté par
Arkhnor
re : fonction continu, fonction en escalier 15-10-10 à 20:14

Alors, la bonne question est : "Qu'est-ce qu'un ouvert ?"
La réponse dépend du cadre où on se place.

Mettons-nous dans \mathbb{R} pour simplifier.
Une partie U \subset \mathbb{R} est dite ouverte si elle vérifie la propriété :
\forall x \in U, \exists \epsilon > 0 tel que ]x- \epsilon, x + \epsilon[ \subset U.

Essaye de visualiser ce que ça signifie, de trouver des parties ouvertes et non ouvertes.
Puis, si tu t'en sens, réfléchis à ce que peut être une définition d'un ouvert de \mathbb{R}^n.

Posté par
lolo271
re : fonction continu, fonction en escalier 15-10-10 à 23:09

Le niveau en L3-master a aussi baissé malheureusement....j'y étais.
D'ailleurs en ayant perdu 25% des heures de maths en lycée depuis cette époque s'était inéluctable (mais il paraît qu'on a aussi perdu 25% des heures en français et ça se sent aussi dans les copies).

Sinon dans R , tu vérifieras que  ]0,  12[  intervalle ouvert est un ouvert, que toute réunion d'intervalle ouvert est un ouvert,
que toute intersection d'un nombre fini d'ouverts est un ouvert de  R aussi.

Que [2, 4]  n'est pas un ouvert (c'est le complémentaire d'un ouvert , on appelle ça un fermé) et qu'il existe des ensembles dans R qui ne sont ni ouverts, ni fermés (on ne les appelle pas entre-baillés ils n'ont pas de nom)

Posté par
Leonegres
re : fonction continu, fonction en escalier 27-02-12 à 15:14

Bonjour,

J'arrive avec 1 an et demi de retard, mais j'ai bien l'impression que le cours (le polycopié) de Psy est le même que le mien ....
Je confirme, les notions soulevées dans les 1ere pages de ce cours (si c'est bien le même) font appellent à des notions non vues en 1ere année ...

Posté par
psy
re : fonction continu, fonction en escalier 28-02-12 à 10:55

Bonjour,

T'inquiètes pas, je suis finalement quand même passé en 3ème, fais semblant de comprendre puis au bout d'un temps tu comprends pour de vrai

Posté par
Leonegres
re : fonction continu, fonction en escalier 28-02-12 à 12:57

Si je peux me permettre, tu es au CTU Besançon ?

Posté par
psy
re : fonction continu, fonction en escalier 29-02-12 à 20:40

Bien deviné, je suis effectivement au ctu de Besançon, mais je crois qu'on n'est pas vraiment au bon endroit pour se raconter nos vies, si tu veux, poste un topic CTU dans l'espace détente, j'y répondrais, en tout cas je te souhaite bonne chance pour la suite.

Posté par
Leonegres
re : fonction continu, fonction en escalier 29-02-12 à 23:34

Ecoute, si cela ne t'embête pas, je remets mon mail apparent dans mon profil, et si tu veux bien m'envoyer un mail, je te répondrai.
Te remerciant.

Léo



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1741 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !