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fonction continue

Posté par
ugito 20-03-07 à 23:03

Bonjour,
Voici une question dont je ne parviens pas à trouver la solution:

On a f: + une fonction continue telle que \lim_{x\to +\infty} f(x+1)-f(x)=0.

Soit >0,
Montrer qu'il existe N tel que:
x [N,N+1], n , valeur absolue de ( f(x+n)-f(x) )(n)/2

Merci beaucoup pour votre aide.

Posté par
Panter Correcteurre : fonction continue 20-03-07 à 23:18

utiliser la définition de la continuité

Posté par
ugitore : fonction continue 20-03-07 à 23:42

Le fait est que  j'y ait pensé mais je suis asser confu quant à la façon de l'appliquer à cette question .....

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : fonction continue. 21-03-07 à 00:44

Bonsoir ;
Je ne crois pas que la propriété demandée a un quelconque rapport avec la continuité de f , elle résulte uniquement du fait que :
2$\red\fbox{\lim_{x\to+\infty}\hspace{5}f(x+1)-f(x)=0}
En effet si \varepsilon est un réel strictement positif l'énoncé encadré donne l'existence d'un réel positif N tel que 2$\fbox{\fbox{(\forall x\ge N)\hspace{5},\hspace{5}|f(x+1)-f(x)|\le\frac{\varepsilon}{2}}}
et à fortiori on a 3$\blue\fbox{(\forall x\in[N,N+1])\hspace{5},\hspace{5}|f(x+1)-f(x)|\le\frac{\varepsilon}{2}}

Notons alors P(n) la propriété : 3$\fbox{P(n)\hspace{5}:\hspace{5}(\forall x\in[N,N+1])\hspace{5},\hspace{5}|f(x+n)-f(x)|\le\frac{n\varepsilon}{2}}
\fbox{*} P(1) est clairement vraie (encadré bleu).
\fbox{*} Supposons P(n) vraie pour un certain n\ge1 on peut alors écrire:
-3$\fbox{(\forall x\in[N,N+1])\hspace{5},\hspace{5}|f(x+n+1)-f(x+n)|\le\frac{\varepsilon}{2}} (d'après la propriété doublement encadrée)
-3$\fbox{(\forall x\in[N,N+1])\hspace{5},\hspace{5}|f(x+n)-f(x)|\le\frac{n\varepsilon}{2}} (d'après l'hypothèse de récurrence)
et ainsi on voit (en utilisant l'inégalité triangulaire) qu'on a :
3$\fbox{(\forall x\in[N,N+1])\hspace{5},\hspace{5}|f(x+n+1)-f(x)|\le\frac{(n+1)\varepsilon}{2}} c'est à dire P(n+1) ce qui achève la récurrence.

Conclusion :
Rien qu'avec l'hypothèse rouge on vient d'établir que :
3$\fbox{(\forall\varepsilon>0)\hspace{5}(\exists N\ge0)\hspace{5}(\forall x\in[N,N+1])\hspace{5}(\forall n\in\mathbb{N})\hspace{5},\hspace{5}|f(x+n)-f(x)|\le\frac{n\varepsilon}{2}}. (sauf erreur bien entendu)

Posté par
ugitore : fonction continue 22-03-07 à 18:50

Merci  beaucoup c'est bien plus clair ainsi. A bientot et encore merci pour votre aide

Posté par
ugitore : fonction continue 22-03-07 à 19:41

J'ai juste une dernière question: comment utilisez vous l'inégalité triangulaire dans la récurrence ? Merci Beaucoup

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : fonction continue. 22-03-07 à 19:48

En écrivant 4$\fbox{f(x+n+1)-f(x)=f(x+n+1)-f(x+n)+f(x+n)-f(x)} on a :
4$\fbox{|f(x+n+1)-f(x)|\le|f(x+n+1)-f(x+n)|+|f(x+n)-f(x)|\le\frac{\varepsilon}{2}+\frac{n\varepsilon}{2}=\frac{(n+1)\varepsilon}{2}}

Posté par
ugitore : fonction continue 22-03-07 à 22:39

Merci beaucoup vous m'avez été  d'une grande aide.


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