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Fonction continue

Posté par
H_aldnoer 20-11-05 à 21:20

Bonjour,

voici un probleme :
soit \rm g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} telle que \rm g(0)=0 et \rm \forall x \in\mathbb{R}, g(x)=g(\frac{x}{2})

montrer que \rm \forall n \in\mathbb{N}, g(x)=g(\frac{x}{2^n})
la récurrence n'aboutit pas.
---
Il faut ensuite montrer que \rm \forall x\in\mathbb{R}, g(x)=0
la je ne vois pas comment procéder.

pouvez vous m'aidez ?
merci.

Posté par
cinnamonre : Fonction continue 20-11-05 à 21:27

Salut,

La récurrence est assez simple.

*Pour n=0,
g(\frac{x}{2^0})=g(\frac{x}{1})=g(x) pour tout x \in \mathbb{R} .

*Supposons que pour un certain n g(x)=g(\frac{x}{2^n})

Or 3$g(\frac{x}{2^n})=g(\frac{\frac{x}{2^n}}{2})=g(\frac{x}{2^{n+1}}).

Donc 3$g(x)=g(\frac{x}{2^{n+1}}).

à+

Posté par
Nightmarere : Fonction continue 20-11-05 à 21:28

Bonjour

Pour le premier :

3$\rm g(x)=g\(\frac{x}{2^{n}}\)\Rightarrow g\(\frac{x}{2}\)=g\(\frac{\;\frac{x}{2^{n}}\;}{2}\)\Rightarrow g\(\frac{x}{2}\)=g\(\frac{x}{2^{n+1}}\)\Rightarrow g(x)=g\(\frac{x}{2^{n+1}}\)(car g(x)=g\(\frac{x}{2}\))

L'hérédité est donc vérifiée

Posté par
Nightmarere : Fonction continue 20-11-05 à 21:28

Arf, en retard

Posté par
cinnamonre : Fonction continue 20-11-05 à 21:29



Je t'ai eu...

Posté par
Nightmarere : Fonction continue 20-11-05 à 21:32

Je me vengerais !

Posté par
H_aldnoerre : Fonction continue 20-11-05 à 21:44

merci.

et pour le deuxieme un idée ?

Posté par
Nightmarere : Fonction continue 20-11-05 à 21:53

Pour le deuxiéme un piste :

3$\rm \frac{x}{2^{n}}\longrightarrow_{n\infty} 0

Utilise la continuité de g en 0 pour en déduire que g(x)=g(0) pour tout x réel

Posté par
H_aldnoerre : Fonction continue 20-11-05 à 22:47

Bonsoir Night,

3$\rm \frac{x}{2^{n}} \longrightarrow_{n\to+\infty} 0

Donc 3$\rm g(\frac{x}{2^{n}}) \longrightarrow_{n\to+\infty} g(0)=0

Je ne vois pas comment tu procéderais ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Fonction continue 20-11-05 à 22:58

Bonsoir à tous

Je crois savoir ce que Nightmare voulais dire

En fait, il (ou elle) a réussi à montrer que pour tout x et pour tout entier n, on avait g(x)=g(\frac{x}{2^{n}}).
Pour x fixé, g(x) est une constante, donc g(\frac{x}{2^{n}}) est indépendant de n. Comme cette suite converge vers 0 et qu'elle est constante, alors elle est nulle, d'où g(x)=0 et ce pour tout x réel.

Voilà

Kaiser

Posté par
Nightmarere : Fonction continue 21-11-05 à 17:39

Bonsoir

Oui c'est à peu prés ça .

3$\rm \frac{x}{2^{n}}\longrightarrow_{n\infty} 0

Comme g est continue en 0 et par composition :
3$\rm g\(\frac{x}{2^{n}}\)\longrightarrow_{n\infty} g(0)=0 (1)

Or :
3$\rm g\(\frac{x}{2^{n}}\)=g(x) et g(x) étant indépendant de n, 3$\rm g(x)\longrightarrow_{n\infty} g(x) (2)

Ainsi avec (1) et (2) on obtient 3$\rm g(x)=0 pour tout x réel


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