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Fonction continue
Bonsoir,
Merci d'avance. 
Déterminer les fonctions continues sur telles que :
J'avoue que je n'ai pas vraiment compris l'énoncé.
L'équation stipule que pour toute valeur de réelle et pour tout
réel strictement positif, la valeur de la fonction
en
est égale à la moyenne de la fonction
sur l'intervalle
, pondérée par
..
Bonjour,
Je confirme la réponse de elhor_abdelali (était-ce nécessaire ?). Tu peux montrer que f vérifie la propriété de la moyenne
Des fonctions continues sur la droite réelle qui vérifient cette propriété sont automatiquement affines.
Voici un exercice en plus si t'as du temps à perdre
Si F est une primitive de f, elle est de classe
L'énoncé dit que pour tout x et pour tout a strictement positifs,
Mais en intervertissant les rôles des deux variables positives, on a aussi
En dérivant la première égalité par rapport à a,
En dérivant la seconde égalité par rapport à x,
Donc f(x) = f(a) pour tout x et pour tout a, donc f est constante sur
Ce résultat faux, puisque la fonction identité est solution mais strictement croissante. Où est l'erreur et comment la corriger pour aboutir au bon résultat ?
Salut Ulmiere, sympa ce petit exo. Je pense qu'il a sa place en détente (ou en expresso, je sais plus la section des exercices), tu pourras faire des heureux !
En fait la condition
est trompeuse vu qu'on a aussi
.
L'exercice consiste donc à chercher toutes les fonctions continues
telles que
.
Analyse :
On voit clairement que toute solution
est dérivable sur
.
Par dérivation de l'encadré bleu (successivement) par rapport à
et
on a
,
puis par addition , d'où
.
Synthèse : Les fonctions affines sont clairement solution. 
sauf erreur de ma part bien entendu
C'est dommage de donner la réponse à matheux14, le connaissant il aurait tenté de faire quelque chose dans les prochains jours. Tant pis.
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