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fonction continue convexe et intégrale

Posté par
nino00 19-01-22 à 18:36

Salut,
J'ai dans la main cet exercice
a<b et f une fonction définie de  [a,b]  dans \R  continue et convexe
1) montrer que
f(\frac{a+b}{2})(b-a) \preceq  \int_{a}^{b}f(x)dx{}\preceq  \frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)

2) Montrer que si f \preceq 0  sur  [a,b]  alors \int_{a}^{b}f(x)dx{}  \preceq \frac{b-a}{2}min(f(x))  le minimum de f sur [a,b]

Si vous avez une idée pour la deuxième question (Pour la première question c'est faite )  
Merci d'avance

Posté par
jarod128re : fonction continue convexe et intégrale 19-01-22 à 19:28

Bonjour,
par exemple: en posant g=-f. On a g concave, g positive.
Que devient l'inégalité? A visualiser graphiquement comme l'aire sous la courbe de g et celle d'un certain triangle. Justifiez l'inégalité via un argument de convexité à l'aide de corde...

Posté par
nino00re : fonction continue convexe et intégrale 19-01-22 à 20:05

jarod128 @ 19-01-2022 à 19:28

Bonjour,
par exemple: en posant g=-f. On a g concave, g positive.
Que devient l'inégalité? A visualiser graphiquement comme l'aire sous la courbe de g et celle d'un certain triangle. Justifiez l'inégalité via un argument de convexité à l'aide de corde...


On trouve :
\frac{g(a)+g(b)}{2}(b-a)\preceq  \int_{a}^{b}{g(x)dx} \leq  g(\frac{a+b}{2})(b-a)
c'est ça ??
j'ai utilisé le meme raisonnement que j'ai fait dans la première question

Merci pour votre réponse

Posté par
jarod128re : fonction continue convexe et intégrale 19-01-22 à 20:26

Je voulais plutôt dire: à quoi est équivalente l'inégalité que l'on te demande de prouver vis à vis de g?

Posté par
nino00re : fonction continue convexe et intégrale 19-01-22 à 20:44

jarod128 @ 19-01-2022 à 20:26

Je voulais plutôt dire: à quoi est équivalente l'inégalité que l'on te demande de prouver vis à vis de g?


on peut prendre g(\frac{a+b}{2})= max (g(x)) sur [a,b] ??
J'ai pas bien compris ce que vous voulez dire  ... désolé

Merci

Posté par
jarod128re : fonction continue convexe et intégrale 19-01-22 à 20:47

Oublie la question 1)

Posté par
nino00re : fonction continue convexe et intégrale 19-01-22 à 21:41

jarod128 @ 19-01-2022 à 20:47

Oublie la question 1)

D'accord , s'ayez je l'ai trouvé j'ai cru que les 2 questions sont dépendant
Merci bcp

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : fonction continue convexe et intégrale 19-01-22 à 21:43

Bonsoir

2) Soit c\in[a,b] tel que f(c)=\min_{[a,b]} f,

alors d'après la question 1) on a :

\large \boxed{\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx\leqslant\frac{f(a)+f(c)}{2}(c-a)+\frac{f(c)+f(b)}{2}(b-c)\leqslant...}

Posté par
nino00re : fonction continue convexe et intégrale 19-01-22 à 22:31

elhor_abdelali @ 19-01-2022 à 21:43

Bonsoir

2) Soit c\in[a,b] tel que f(c)=\min_{[a,b]} f,

alors d'après la question 1) on a :

\large \boxed{\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx\leqslant\frac{f(a)+f(c)}{2}(c-a)+\frac{f(c)+f(b)}{2}(b-c)\leqslant...}


Merci beaucoup ..c'est mieux comme ça en utilisant la première question

Posté par
carpediemre : fonction continue convexe et intégrale 20-01-22 à 10:06

et comment conclus-tu ?

Posté par
nino00re : fonction continue convexe et intégrale 20-01-22 à 21:54

carpediem @ 20-01-2022 à 10:06

et comment conclus-tu ?

En utilisant la négativité de f


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