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fonction continue et dérivable
Bonjour,
Voila mon exercice:
" Soit f:R->R une fonction telle que pour tout x,y appartenant à R, valeur absolue de[f(x)-f(y)]< ou = valeur absolue de [sin(x)-sin(y)].
1) Montrer que f est 2pi-périodique.
2) Montrer que f est continue sur R.
3) Montrer que f est dérivable en (pi/2) et calculer f'(pi/2)."
Merci d'avance.
) - f(x) ?
0, qu'est-ce que tu en conclus ?
Bonjour, il faut que tu essayes un peu...
La fonction sin est lipschitzienne (car sa dérivée cos est bornée), on en déduit qu'il existe un k tel que pour tout x, y |sin(x)-sin(y)| est inférieur à k|x-y|
Par conséquent, pour tout x,y, |f(x)-f(y)| est inférieur à k|x-y|.
f est lipschitzienne donc continue.
tu appliques l'inégalité TAF à sinus ( Théorème des Acroissements Finis ou le théorème de Rolle si tu veux)
D'après le théorème des accroissements finis, il existe un c tel que |sin(x)-sin(y)| < cos(c) |x-y|
Par conséquent |f(x)-f(y)| < cos(c) |x-y| et c'est réglé en faisant tendre y vers x par exemple.
Il suffit d'utiliser la continuité de sinus.
Soit x0
Quel que soit 
> 0, il existe 
> 0 tel que
|x - x0| < implique |sin(x) - sin(x0)| < , donc |f(x) - f(x0)| <
ce qui prouve la continuité de f en x0
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