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fonction continue => fonction continue par morceau ?
Bonjour à toutes et à tous.
Merci de répondre à la question.
Pourquoi une telle question ?
Soit f(x) = x 2Pi-périodique définie sur ]-Pi;Pi].
x
]-
;], on a :
f'(x)=1.
De plus : lim(x=>-) f'(x) = f'(x) = 1, donc f continue x
.
Théorème de Dirichlet, soit r la série de Fourier relative à f :
est-ce qu'on peut dire que f est de classe C1, donc que r converge vers (1/2)(f(x-)+f(x+)) ?
Réponse : oui, donc f continue implique f continue par morceau, n'est-ce pas ?
Merci de me répondre.
Bonjour,
f continue implique f continue par morceaux oui mais je vois pas trop le rapport, ta fonction ici n'est pas continue(dessine la).
Salut !
Oui mais la fonction f' est continue sur ]-Pi;Pi] : regarde mon raisonnement et Dirichlet + les hypopthèses.
Merci pour la réponse.
Oui f' est continue sur ]-Pi,Pi] vu qu'elle est constante.
Justement je ne comprend pas ton raisonnement que veux tu montrer exactement sous quelles hypothèses?
Bah comme f est de classe C1, de période 2Pi, d'après Dirichlet, on peut dire que la série de Fourier de f converge vers
f(x+)+f(x-)/2
Voilà ^^
Oui je suis d'accord, mais f est pas C1 elle est pas continue mais dans Dirichlet on demande continue par morceaux donc oui c'est vrai.
Mais
lim(x=Pi-) = f'(x) = 1 <=> f continue sur IR par prolongement, en fait...
pardon je me suis trompé : f' continue sur IR par prolongement
f ne peut être dérivable en -Pi sinon elle y serait continue(donc tu prolonges f' par 1 en -Pi par exemple) mais on a pas f'(-Pi)=1, ton prolongement n'est pas la dérivée de f.
C'est cool de m'avoir réctifié, merci 
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