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Fonction continue surjective
Bonsoir, je dois monter qu'une fonction surjective continue s'annule une infinité de fois.
Je ne comprends pas l'énoncé car il suffit de prendre une fonction étant aussi injective comme contre exemple (une droite par exemple) étant bien surjective et continue.
Merci de votre aide.
Appelle . Suppose que
soit un ensemble fini.
1) est non vide parce que ...
2) Donc possède un max
3) Etudier le signe de sur
4) Quelle propriété possède-t-elle sur
?
5) Contradiction et conclusion
Hello ! Attention au domaine de définition : R+
Une fonction affine n'est pas surjective sur R+ !
La fonction racine carrée dans ce cas là est bien surjective et continue mais elle ne s'annule pas une infinité de fois.
Appelle
1)
2) Donc
3) Etudier le signe de
4) Quelle propriété
5) Contradiction et conclusion
Merci, je vais essayer mais je ne vois pas pourquoi c'est vrai
Non, la fonction racine carré n'est pas surjective quand elle est vue comme une fonction à valeurs dans .
n'a pas d'antécédent dans
par exemple
Bonsoir,
La fonction racine carrée dans ce cas là est bien surjective et continue mais elle ne s'annule pas une infinité de fois.
La fonction racine carrée n'est pas surjective sur
Je suis désolé mais je ne vois pas malgré les indications. Pour x > x0, x n'appartient pas à A donc f est soit strictement positive soit strictement négative, mais j'ai l'impression que ça ne fait que déplacer le problème à [0,x0] (il n'y a rien qui empêche f d'être surjective ou continue sur cet intervalle)
Il y a quelque chose qui empêche f d'être surjective de [0,x0[ sur R.
C'est qu'elle est continue et définie sur [0,+
[.
Ah d'accord, donc en français ça veut dire que au bout d'un moment, f va devoir sortir de [0,x0] et alors elle ne pourra pas être surjective de [0,x0] dans . Mais ce n'est pas absurde car par hypothèse, f est surjective de
Comme f est continue sur R+ l'image par f de [0;x0] est un intervalle de la forme [a;b] avec a et b réels car l'image continue d'un compact est un compact.
Comme la fonction est surjective elle s'annule au moins une fois en dehors de [0;x0] pour passer d'une valeur négative inférieure à a jusqu'à une valeur positive supérieure à b.
On peut supposer que f est strictement positive sur [x0,+inf), quitte à travailler avec -f à la place de f.
Et comme te l'a expliqué verdurin, l'image du compact [0,x0] est en vertu du théorème de Heine un compact, donc bornée.
En particulier, f n'atteint jamais la valeur -J-1, où J est l'inf (atteint et fini) de f sur [0,x0].
Bonjour,
Je propose une autre méthode par construction.
tel que
et
dû à la surjecivité de
Si ,
n'aurait pas de limite en
, or
est continue. Donc
. Idem pour
.
On applique le théorème des valeurs intermédiaires,dès lors , il existe
ou
tel que
, on déduit que
On pose , il existe
tel que
et ensuite on pose
de tel sorte à obtenir pour tout
, par itérations successives on finit par obtenir une bijection de
avec
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