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fonction contractante

Posté par
Theo92 23-10-19 à 21:41

Bonsoir à tous.

Je vous remercie par avance pour les indications que vous voudrez bien me donner sur cet exercice.

Soit  \mathbb{R}^{n}  muni de la distance euclidienne. Soit  C \subset \mathbb{R}^{n}  compact tel que  0 \in C  et  \forall \lambda \in [0,1], \forall x \in C, \lambda.x \in C.
Soit  f:C \longrightarrow C  une application 1-liptschitzienne

1)Soit  \lambda \in [0,1[ , montrer  f_{\lambda}:C \longrightarrow C  définie par  \forall x \in C,f_ {\lambda}(x)=f(\lambda x)  est bien définie

f est 1-liptschitzienne, donc continue sur C
Puisque  \forall \lambda \in [0,1], \forall x \in C, \lambda.x \in C , on a pour  \lambda \in [0,1[,\lambda.x \in C  donc  f_ {\lambda}(x)=f(\lambda x) \in C  et  f_ {\lambda}  est bien définie et continue.
Est-ce correct?

2) Montrer que  f_ {\lambda}  admet un unique point fixe.

D'après le Th du point fixe, on a  C \in \mathbb{R}^n  est complet,  f_{\lambda}  va bien de C dans lui-même.
Il reste à vérifier que  f_{\lambda}  est k-contractante.
On a  d(f_{\lambda}(x),f_{\lambda}(y))=d(\lambda.x,\lambda.y)=d(\vert\lambda \vert (x,y)=\vert\lambda \vert d(x,y)
On peut conclure
Est-ce correct?

3) Il faut ensuite montrer que f admet un point fixe (en usant de la compacité) ?????
puis montrer par un exemple que f peut posséder plusieurs points fixes ???

4)Donner un exemple de partie compacte D de  \mathbb{R}^2  et d'application de D dans D qui soit 1-liptschitzienne  et qui n'admet aucun point fixe

Posté par
carpediemre : fonction contractante 23-10-19 à 22:32

salut

1/ pourquoi termines-tu par "... et continue"

2/ ne va pas : ce qu'on veut c'est l'unicité du point fixe (s'il existe)

3/ demande l'existence de ce point fixe ...

donc on suppose qu'il existe deux points fixes a et b donc f_k(a) = a $ et $ f_k(b) = b

or d(a, b) = d(f_k(a), f_k(b) ) = d(f(ka), f(kb)) \le d(ka, kb) = kd(a, b) avec 0 \le k < 1 ce qui n'est possible que si a = b ...

Posté par
carpediemre : fonction contractante 23-10-19 à 22:34

3/ il suffit de prendre f(x) = x ...

Posté par
Theo92re : fonction contractante 23-10-19 à 23:01

Bonsoir Carpediem. Je vous remercie pour vos indications.

Pour la question 2, je pensais que comme la fonction vérifie toutes les conditions du théorème du point fixe, on pouvait conclure à l'unicité du point fixe pour  f_{\lambda}

On a  d(f_{\lambda}(x),f_{\lambda}(y))=d(f(\lambda.x),f(\lambda.y))\leq d(\lambda.x,\lambda.y) \leq \vert \lambda \vert d(x,y)  avec  \lambda <1 ,  donc  f_{\lambda}  est bien contractante.

En revanche pour la question 3 qui concerne cette fois la fonction f 1-lipschitzienne, je n'ai pas compris votre raisonnement. il me semble qu'il faut montrer que f possède donc au moins un point fixe, et il est demandé de le faire par un argument de compacité.

Posté par
carpediemre : fonction contractante 23-10-19 à 23:48

2/ ok ... peut-être ...

mon raisonnement était pour la question 2/ et prouvait l'unicité du point fixe (s'il en existait)... mais effectivement il faut prouver qu'il en existe un aussi ...

3/ considère la suite (x_n) définie par x_0 quelconque et la relation de récurrence x_{n + 1} = f(x_n)

soit on obtient un rang n tel que x_n = x_{n + 1} \iff x_n est point fixe soit tu n'as pas de tel rang n ...

et alors considère les boules de centre x_n et de rayon 1/2 par exemple et trouves une contradiction avec la compacité ...

ce me semble-t-il ... enfin faut voir ....

Posté par
Theo92re : fonction contractante 24-10-19 à 05:30

Est-ce que d'après les hypothèses sur C compact de \mathbb{R}^n  contenant 0, et tel que pour tout x dans C,  \lambda.x \in C , on peut déduire que C est convexe?

Posté par
mokassinre : fonction contractante 24-10-19 à 09:13

Bonjour,
Ton raisonnement est correct pour la 2)
Pour la 3, pour tout t dans [0,1] (je note t au lieu de lambda) tu as un unique point fixe x_t, tu peux prendre t_n une suit qui tend 1 et regarder la suite définie par x_n:=x_{t_n}, quitte à extraire, elle converge...

Enfin, non tes hypotheses ne suffisent pas à conclure à la convexité de C (prend la réunion de {0}x[-1,1] et [-1,1]x{0} par exemple).

Pour le 4, tu peux regarder sur le cercle par exemple.

Posté par
Theo92re : fonction contractante 25-10-19 à 14:48

Bonjour Mokassin,

je vous remercie pour vos indications. J'ai pu creuser par ailleurs Brouwer et Schauder.

Je vous remercie tous pour votre aide, et vous souhaite une bonne journée.


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