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Fonction contractante et Suite récurrente

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lea75014 29-05-23 à 17:00

Bonjour,

Cet exercice étudie une fonction contractante et u la suite de premier terme u0 et la relation de récurrence un+1 = f(un)
J'ai montré à la 1ère question que
∀n ∈ N, |un+1 − un| ⩽ C^n|u1 − u0| avec C compris entre [0, 1[
Je dois en déduire que u converge.
Je vois que (un+1)-un tend vers 0 par encadrement, comme C est compris entre [0, 1[,  mais je ne peux rien en déduire quant à sa convergence...

Merci d'avance de votre aide

Posté par
carpediemre : Fonction contractante et Suite récurrente 29-05-23 à 17:41

salut

un énoncé exact et complet serait la bienvenue ...

soit m un entier fixé

si m < n alors majore |u_n - u_m|

Posté par
lea75014re : Fonction contractante et Suite récurrente 29-05-23 à 19:48

Je ne vois toujours pas très bien comment m'en sortir... Je dois majorer |un+1 − un| ?

Posté par
carpediemre : Fonction contractante et Suite récurrente 29-05-23 à 21:00

u_n - u_m = (u_n - u_{n - 1} ) + (u_{n - 1} - u_{n - 2}) + ... + (u_{m + 1} - u_m)

Posté par
lea75014re : Fonction contractante et Suite récurrente 30-05-23 à 19:19

Je ne vois toujours pas très bien mais tant pis, merci de votre aide, bonne soirée

Posté par
carpediemre : Fonction contractante et Suite récurrente 30-05-23 à 19:52

|u_n - u_m| = |(u_n - u_{n - 1} ) + (u_{n - 1} - u_{n - 2}) + ... + (u_{m + 1} - u_m)| \le \sum_m^{n - 1} |u_{k + 1} - u_k| = \sum_m^{n - 1} c^k|u_1 - u_0| = ....

Posté par
lea75014re : Fonction contractante et Suite récurrente 30-05-23 à 22:20

Oui j'avais aussi fait cela mais quand on exprime la somme géométrique de c^k cela ne tend pas vers 0 il me semble, donc on ne peut toujours pas conclure

Posté par
luzakre : Fonction contractante et Suite récurrente 31-05-23 à 09:02

Bonjour !
Faut te réveiller !
Que trouves-tu pour la somme des c^k ? Peut-être as-tu oublié qu'il y a une condition sur la constante c ?

Posté par
AitOuglifre : Fonction contractante et Suite récurrente 31-05-23 à 16:51

Bonjour
Tu dois prouver qu'une suite converge et tu ne connais pas de candidat pour la limite. Ton cours/prof a dû te répéter 150 fois que dans ce cas on a un outil sympa quand l'espace dans lequel on travaille est complet…Ensuite tu rererelis l'indication de carpediem

Posté par
lea75014re : Fonction contractante et Suite récurrente 04-06-23 à 08:02

D'accord merci


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