Salut

Je dis surement des bêtises, mais si une fonction est convexe sur un intervalle ]a,b[, c'est que . Ainsi f' est dérivable. f' existe donc f est dérivable sur ]a,b[ et a fortiori elle est continue sur ]a,b[.

désolé mais la fonction peut ètre convexe sans ètre dérivable ou 2 fois dérivable.

Ah autant pour moi

Un exemple ?

exemple la fonction valeur absolus de x est convexe sur R mais non dérivable

Bonjour à tous (allez, je m'incruste, si vous n'y voyez pas d'inconvénient) !

dyjong > utilise la croissance des pentes.

Kaiser

peut ètre une indication d'utiliser l'inégalité f[tx+(1-t)y]inf ou egale à tf(x)+(1-t)f(y) avec t dans [0,1].x et y dans ]a,b[.

désoler Kaiser mais j'ai pas bien compris.

Dans ton cours, tu devrais avoir la propriété suivante :

f est convexe sur un intervalle I si et seulement si pour tout a de I, l'application suivante définie sur I-{a} est croissante :

.

Kaiser

peut ètre j'ai besoin qu'elle soit bornée pour avoir f(x)-f(y) inf ou egal à (x-a)*k

ce que tu dis est vrai mais on n'a pas encore : il faudrait que cette fonction croissante soit bornée. Pourquoi est-ce le cas ?

Kaiser

on peut facilement l'avoir a l'aide du thm d'accroissement finis mais on n'ai pas dans les condisions du theorème

f n'est pas supposée dérivable.

Kaiser

utilise vraiment la croissance de l'application donnée plus haut pour montrer la continuité (d'ailleurs, je me suis trompé dans la notation : au lieu de a, qui était déjà pris, j'aurais dû mettre c, par exemple).
Dans ton cours, tu devrais disposer d'un théorème sur les fonctions croissantes (et plus généralement sur les fonctions monotones).

Kaiser

bien sur sinon pourquoi on montre la continuité.

euh, je n'ai pas compris ton message de 12h16.

Kaiser

svp revoire la question de 11.05

C'est justement ce que l'on essaie de faire (en utilisant l'indication que je t'ai donnée ainsi qu'un théorème sur les fonctions monotones).

Kaiser

déja est ce que vous avez une indication sur la demonstration de 11:52

ça revient à montrer que pour tout c de I et x, y différents de c, on a :



Supposons par exemple que l'on ait x < c < y, alors essaie d'écrire c comme un barycentre de x et y à coefficients positifs.

Kaiser

merci

il n'est pas peut etre possible de montrer que f est lipchizienne par suite continue?

c'est possible, mais ça risque d'être un peu long.

Kaiser

si tu trouvera une réponse tu peut me l'envoyer a l'adresse *********
MERCI

Plusieurs choses

1) pas d'adresse mail sur le forum, merci !
2) ce n'est pas pratique de communiquer une preuve par mail
3) la preuve en question est plus longue que ce que je te propose (d'ailleurs, en fait, elle n'est pas lipschitzienne tout court, mais si je me souviens bien, elle l'est sur tout segment, avec une constant de Lipschitz dépendant du segment)
4) l'indication que je t'ai proposée plus haut est un résultat de cours sur les fonctions convexes

Kaiser