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Fonction convexe
Bonjour à tous
J'ai un exo a faire sur les fonctions convexes j'ai deja tout demontré sauf la derniere question
J'ai montré que :
1) si f convexe sur I son taux d'accroissement est croissant
2) f convexe implique que f est continue sur int(I)
3)l'inegalité des pentes
4) on suppose I = ]a,b[ a,b 
barre. avec a < b
montrer que si f convexe :
f(x) = sup { g(x) : g affine et g 
f }
Je doit montrer ca, je bloque j'i pas l'habitude de démontrer qu'un objet est un sup
Voilà ou j'en suis dans mon raisonnement :
Je considère une suite de fonctions affine gn définies sur I
Alors elles sont toutes bornées
donc il existe M tel que leurs images sont contenues dans [-oo ; M]
donc pour tout x de I, l'ensemble { gn(x) } est majoré donc il admet une borne supérieure.
Je n'arrive pas a montrer que leur sup est f lui même...
merci d'avance pour l'aide
Tu as mal compris la question, il ne s'agit pas de montrer que la fonction f est le sup des fonctions affines gf (d'ailleurs au sens de quelle relation d'ordre ?)
Il s'agit de montrer que pour tout réel x fixé, f(x) est le sup de l'ensemble des valeurs g(x) avec g affine f.
Prends a I (intervalle supposé ouvert ) et f : I 
, convexe et poses f*(a) = sup { g(a) : g affine et g f } .
Il est clair que f*(a) f(a) .
Montre que la convexité de f entraine l'existence d'au moins une g affine telle que g f et g(a) = f(a) ; ce qui entrainera qu'on a : f*(a) 
f(a) .
Ah oui blumaise tu as raison, on demande bien un ensemble de valeurs
du coup le début de mon raisonnement est bon ?
puisque l'ensemble des g(x) est un ensemble majoré de R il admet une borne sup
et ca rejoint ce que dit kybjm,
je vais réflechir à cette piste !
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