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fonction convexe
Bonsoir!
J'ai une fonction inconnue définie sur ]0;+
[ à valeurs strictement positives qui vérifie les propriétés suivantes:
pour tout x>0 F(x+1)=xF(x)
la fonction x
ln(F(x)) est convexe sur ]0;+[
F(1)=1
on suppose F dérivable sur ]0;+[
J'ai montré que pour tout entier naturel n F(n) = (n-1)!
je dois montrer que F est convexe sur ]0;+[ et là je bloque
je suppose que je dois utiliser la proposition suivante "la fonction xln(F(x)) est convexe sur ]0;+[ " , on sait que cette dernière fonction est dérivable donc F'(x)/F(x) est croissant car la fonction est convexe, mais il faudrait arriver à montrer que F' est croissante et je ne vois malheureusement comment procéder
Merci d'avance pour votre aide
Melle Papillon
Bonsoir mellepapillon;
(*)Soient et
deux réels strictement positifs et
on peut écrire:
et vu que
est convexe et
est convexe croissante
on voit que
CQFD
Remarque:
Je crois qu'il s'agit de la fonction définie par
Sauf erreurs bien entendu 
Bonsoir Papillon !
Une fonction dérivable sur un domaine y est convexe ssi sa dérivée est positive.
Comme est dérivable (composée de deux fonctions dérivables) et convexe sur
, on a
sur
. Or, la fonction
est à valeurs positives, donc
est strictement positive sur
. Par conséquent,
est convexe sur
.
Est-ce suffisant ?
Au plaisir.
"Une fonction dérivable sur un domaine y est convexe ssi sa dérivée est positive"
Certainement pas...
Bonjour,
je n'arrive pas à voir comment on en déduit ses inégalités
\fbox{F((1-t)x+ty)\le%20e^{(1-t)ln(F(x))+tln(F(y))}\le%20(1-t)e^{ln(F(x))}+te^{ln(F(y))}=(1-t)F(x)+tF(y)}
merci d'avance pour votre aide
Bon appétit
(le lien ne marche pas ... euh l'égalité c'est la dernire encadrer avec CQFD de la première réponse) merci bien 
ah d'accord je vais travailler la dessus , meci bien, et si j'ai bien compris dans le début de l'inégalité on utilises les propriétés de la fonctions F c'est ça ?
merci bie en tout cas Kaiser!
Plus précisément, au début, on utilise d'une part la convexité de ln(F) et d'autre part la croissance de l'exponentielle.
il y a une autre question sur laquelle je bloque...
on doit montre qu'il existe c dans ]0;1[ tel que F'(c)=0
je pensais utiliser le théorème de Rolle mais la fonction n'est pas définie en 0 et je crois que nous n'avons pas les moyens de la prolonger par continuité, avez vous une autre idée pour montrer l'existence de c
Merci beaucoup d'avance et bonne après midi
en vous remerciant,
melle Papillon
Bonjour mellepapillon et merci kaiser pour ton explication;
(*)La relation implique que
et par application du théoréme de Rolle on a que
Remarque:
ne peut pas s'annuler sur
car étant croissante (puisque
est convexe) ceci impliquerait qu'elle est identiquement nulle sur
et donc que
et par suite que
et alors la fonction
coinciderait sur l'intervalle
avec la fonction
qui n'est pas convexe.
Sauf erreurs bien entendu
Bonjour Melle Papillon
Il se peut que je me trompe mais je crois bien que F' ne s'annule pas sur ]0,1[. Voici pourquoi :
Tout d'abord, on remarque que F(2)=F(1)=1.
Or F est continue sur [1,2] et dérivable sur ]1,2[, donc d'après le théorème de Rolle, il existe d appartenant à l'intervalle ]1,2[ tel F'(d)=0.
Supposons par l'absurde qu'il existe un réel c dans l'intervalle ]0,1[ tel que F'(c)=0, alors comme F est convexe, alors F' est croissante et donc pour tout t compris entre c et d, F'(t)=0 et comme F(1)=1, alors F(t)=1 sur l'intervalle [c,d].
En particulier, on a F'(1)=0.
Or , donc en dérivant, on a
, et donc avec x=1, on a
.
Par ailleurs, on a F(c)=F(1)=F(2)=1, donc par convexité de F, F est constante égale à 1 sur l'intervalle [c,2] (je montrerai ce résultat à la fin de mon message) et donc la dérivée à gauche de 1 est nulle (c'est-à-dire la dérivée en 1 tout court) est nulle ce qui est absurde car on a dit qu'elle valait 1.
On en déduit donc que F ne s'annule pas sur ]0,1[ (chercher l'erreur !)
À présent, je vais montrer le résultat que j'ai énoncé précédemment.
On considère f une fonction convexe sur un intervalle I.
On suppose qu'il existe a, b et c des réels vérifiant a
Soit d un réel compris strictement entre a et b.
alors avec
Par convexité de f, on a
Par ailleurs, on a : avec
, donc par convexité de f, on a :
, d'où
, c'est-à-dire
.
On en déduit que f(d)=f(a).
on fait la même chose sur l'intervalle ]b,c[ et on déduit ainsi que f est constante sur [a,c].
Kaiser
Merci bien à tout les deux, je n'avaispas de connection pour regarder plus tot mais vous avez fait un joli boulot, si avec ça je ne progresse pas en maths ! Merci vraiment, j'espère ne plus bloquer même si se serait inespéré!
Encore une petite question.... 
on suppose qu'il existe c' et c'' tels que 0< c'< c'' et F'(c') = F'(c'') =0
Montrer que G=ln° F vérifie alors sur [c',c''] G'(x+1) = 1/x
déjà là j'ai un problème car G'(x+1) = F'(x+1)/F(x+1) = 1/x + xF'(x)/F(x) et je ne vois pas comment ce dernier terme pourrait être nul.
Il faut ensuite en déduire que l'hypothèse est absurde, est dû à la convexité de G ??
Merci vraiment par avance, bon vendredi
~~Melle Papillon
Bonsoir Melle Papillon
N'oublie pas que F' est croissante (car F est convexe). Ainsi, si F'(c')= F'(c")=0, alors F' est nulle sur tout l'intervalle [c',c"].
Kaiser
ah oui d'accord, donc mon deuxième terme s'annule.
mais en quoi ceci est absurde ? est ce bien à cause de la convexité....
Merci beaucoup
Pour te répondre, je vais utiliser l'argument avancé par elhor_abdelali dans son dernier message.
Sur l'intervalle [c',c"],
Par intégration, il vient que pour tout x appartenent à cet intervalle, on a où a est une constante.
Mais la fonction x n'est pas convexe, ce que contredit la convexité de G.
Kaiser
d'accord, je confondais la fonction ln ente lipschitzienne et convexe, ln n'est pas convexe donc tout va bien
Merci en tout cas pour votre aide cette semaine, merci
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