Inscription / Connexion Nouveau Sujet
fonction cos([smb]alpha[/smb]x) (maths spé)
Bonjour,
Je bloque sur quelques questions d'un problème de concours pourriez vous m'aider, me donner quelques éléments qui me permettront de résoudre ce problème? Merci d'avance.
désignant un réel non nul,
on note f(x)=cos(x).
1- Montrer qu'on peut se limiter à >0
Je suppose ici qu'il faut utiliser le fait que la fonction cos est paire donc on peut restreindre l'intervalle d'étude.
2- Vérifier que f est périodique; on notera T une période strictement positive.
Je sais que la fonction cos est 2
périodique on a en effet cos(x)=cos(x+2), mais comment le montrer?
3- De quelle équation différentielle linéaire, du second ordre, à coefficients réels constants, homogène, f est elle solution? Résoudre cette équation différentielle.
Pour cette question je ne vois pas comment m'y prendre.
(d'après ce que je sais cos(x) peut être solution de ay''+by'+cy=d (a,b,c,d 
a différent de 0) lorsque b²-4ac<0, en effet pour 
<0 on obtient une solution de la forme A.cos(
x+
)e
x)
4- On note respectivement E et d la partie entière et la partie décimale de.
=E+d avec E entier naturel et 0<
d<1
Déterminer en fonction de E et d le nombre de solutions dans [0,] de f(x)=0.
On veut cos(x)=0
ce que l'on peut aussi écrire cos((E+d)x)=0
donc il faut que (E+d)x=/2
Mais comment poursuivre et obtenir le nombre de solutions?
Salut,
Ok pour la question 1.
Pour la question 2: la fonction f est de période p si quel que soit x appartenant à l'ensemble de définition (tq x+p appartienne aussi à l'ensemble de def) f(x+p)=f(x). Tu devrais donc trouver que 2/ est une période de ta fonction.
Pour la question 3: dérive deux fois ta fonction. Tu dévrais trouver facilement l'équa diff en question.
Pac 
Merci Pac pour ta réponse !
Mais j'ai encore une petit soucis en ce qui concerne la question 3
On dérive la fonction f(x) et on remplace dans la formule générale d'une équation différentielle je suis d'accord on obtient:
-a.2.cos(x)-b.sin(x)+c.cos(x)=d
Mais ensuite on demande de résoudre cette équation différentielle or résoudre une équation différentielle c'est trouver la fonction qui vérifie l'équation différentielle (ici on la connait) donc je ne comprend pas bien pourquoi on me demande de la résoudre.
Pour la question 3, l'équa diff que t'as trouvé n'est pas bonne.
En dérivant deux fois la fonction f, tu obtiens:
f''=-2cos(x). Donc f vérifie l'équa diff linéaire d'ordre 2: y''+2y
Et là tu résous l'équa diff en faisant intervenir les deux ctes d'intégration.
Pac
Ah d'accord je viens de comprendre le raisonnement à avoir pour obtenir l'équation différentielle. Je n'avais jamais rencontrer des questions de ce genre. Merci bcp Pac je vais pouvoir poursuivre les calculs grâces à votre aide.
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac