??

S'il y a un modérateur dans le coin... Je me rends compte que j'ai posté dans le mauvais endroite snif

Je fais un copier coller pour mettre mon sujet dans la bonne section. J'espère que ça ne pose pas de problème. :-/

Bonjour à tous,
Je bute sur une question que je ne sais pas exactement comment traiter.

ch(x)= (e^x + e^(-x))/2

1) Etudier les variations de cette fonction , en déduire que pour y1, l'équation ch(x)=y a une seule solution positive notée argch(y) ; la fonction "argument cosinus hyperbolique" est donc définie sur [1, +oo[ .

Je suis passé par la dérivée... Et j'ai donc ch(0)= 1, et ma courbe qui est croissante sur [1,+oo[.
ch est donc une bijection de [0, +inf[ sur [1, +oo[   (j'ai calculé la limite en +oo).
Pour y1 , l'équation ch(x)=y  a donc une solution unique.

2) Trouver en fonction de y appartient à IR l'ensemble des solutions de l'équation
X+ 1/X = 2y

X+ 1/X = 2y X^2 -2y X +1 = 0


= 4y^2-4= 4(y^2-1)
X1= (2y - 2(y^2-1) )/2  
= y - (y^2-1)      et
  
X2= (2y + 2(y^2-1) )/2
= y+ (y^2-1)

En déduire l'expression de la fonction argch(y), montrer que cette fonction est dérivable pour y > 1, et calculer sa dérivée.

On pose X= e^x

On a donc pour y1 :
e^x= y - (y^2-1)
y - (y^2-1) >0   car y> (y^2-1)

d'où
x= ln (y - (y^2-1) )

ou

e^x= y+ (y^2-1)

D'où
x= ln ( y+ (y^2-1) )

La solution positive est :
x= ln ( y+ (y^2-1) )

donc
argch(y)= ln ( y+ (y^2-1) )

La fonction ln est dérivable sur ]0, +oo[.

Soit f(y)= y+ sqr (y^2 -1)    
pour y>1
on a:
f'(y)= 1+ y/sqr(y^2-1) >0
lim en 1 f(y)= 1     et lim en +oo  f(y)= +oo

donc f(y)  est une bijection  de ]1,+oo[ sur ]1, +oo[

La fonction argch(y) est donc dérivable pour tout y>1

argch'(y)= f'(y). 1/ f(y)= ....

Est ce que c'est correct? Si quelqu'un a le courage de me donner quelques conseils (ou corrections ) il est le bienvenu.



*** message déplacé ***

Il me semble que mon message n'a pas été déplacé au bon endroit... Si un modérateur pouvait arranger ça.

??

ch(x)= (e^x + e^(-x))/2

(ch(x))' = (e^x - e^(-x))/2

(ch(x))' = (e^x.e^x - e^(-x).e^x)/(2.e^x)

(ch(x))' = (e^2x - 1)/(2.e^x)

g(x) = e^(2x)
g'(x) = 2.e^(2x)
g'(x) > 0 sur R et donc g(x) est croissante.

e^(2x) = 1 pour x = 0
et e^x > 0 quel que soit x

-->
(ch(x))' < 0 pour x dans ]-oo ; 0[ -> ch(x) est décroissante.
(ch(x))' = 0 pour x = 0
(ch(x))' > 0 pour x dans ]-oo ; 0[ -> ch(x) est croissante.

ch(x) a donc un minimum pour x = 0, ce min = ch(0) = (1+1)/2 = 1
---

Comme ch(x) est croissante sur R+ et que ch(0) = 1, on a:
ch(x) >= 1 pour x dans R+
lim(x->oo) ch(x) = oo

Dans R+, ch(x) > 1 et ch(x) est croissante et comme lim(x->oo) ch(x) = oo:
Il y a donc 1 et une seule solution à ch(x) = y avec y >= 1 pour x dans R+ et cette solution est positive.
-----
2)

X+ 1/X = 2y

X doit être différent de 0.

X² + 1 = 2yX
X² - 2yX + 1 = 0

X1 = y - V(y²-1)
X2 = y + V(y²-1)
(Avec V pour racine carrée).

Posons e^x = X  --> X > 0 (et x = ln(X))
X+ 1/X = 2y

Comme X > 0, la solution qui convient est X2 = y + V(y²-1)

e^x + (1/e^x) = 2y
e^x + e^(-x) = 2y
(e^x + e^(-x))/2 = y

y = ch(x)
argch(y) = x
argch(y) = ln(y + V(y²-1))

(argch(y))' = (1 + (y/(V(y²-1)))/(y + V(y²-1))
(argch(y))' = (y+V(y²-1))/(y²-1+y.V(y²-1)))

Existe pour y > 1
-----
Sauf distraction.  

Merci J-P.

Il me semble que mon raisonnement est à peu près le même que le tien. Est-ce que ce que j'ai écrit est correct ou pas?
Tu ne me l'as pas précisé.

Ou si il y a des choses qui te gênent, peux tu m'indiquer quoi exactement?

Au fait juste parce que c'est un joli résultat. En simplifiant, on arrive à :

argch'(y)= f'(y). 1/ f(y)= f(y)/(f(y).V(y^2-1))= 1/ V(y^2-1)  

??

??

??