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fonction de v.a.

Posté par
jbsph 05-03-24 à 14:46

Bonjour, je ne comprends pas un exercice. On a X v.a. de densité f où
f(x)= \frac{1}{x^{2}} si x >= 1 ; f(x) = 0 sinon

Après avoir vérifié que f est une densité et avoir calculé sa fonction de répartition (zéro partout sauf 1-1/t si t>=1) on doit calculer la fonction de répartition de la variable aléatoire Y=1/X.



Pour ça on distingue 2 cas:
t>0, on a la fonction de répartition de Y est la fonction qui vaut un sur ]0,1] et zéro sur ]1,+\propto ]

t<0 (le cas qui me pose souci), on voit que suppX\subset[1,+\propto [ et donc P(Y\preceq t) = 0 mais en faisant les calculs:
P(Y\preceq t) = P(\frac{1}{X}\preceq t) = P(X\succeq 1/t) = 1 - P(X\preceq 1/t) = 1 - 0 = 1.
Ce qui est faut. Est-ce car t<0 => P(X<t) = 0 et donc je trompe quand je passe au complémentaire et je devrais obtenir que la probabilité du complémentaire est 0 ((car nous travaillons en dehors du support de la variable aléatoire? ))


Posté par
verdurinre : fonction de v.a. 05-03-24 à 17:23

Bonsoir,
si t est négatif c'est aussi le cas de 1/t.
On a donc
P(Y\le t)=P(0\ge X\ge 1/t)=0

Posté par
Ulmierere : fonction de v.a. 05-03-24 à 17:40

Sinon, tu peux aussi faire le calcul à la main avec le théorème de transfert

E(g(Y)) = E((g\circ (\cdot)^{-1})(X))= \int_{-\infty}^\infty g(1/x)f(x)dx = \int_1^\infty \dfrac{g(1/x)}{x^2}dx.

Tu fais le changement de variable u = 1/x, dx = -du/u²

E(g(Y)) = \int_0^1 g(u)du. La densité de Y est donc presque partout égale à 1_{[0,1]} (loi uniforme)

Posté par
jbsphre : fonction de v.a. 05-03-24 à 18:05

Oui, je suis d'accord avec vous deux.
Mais en fait ma question portait sur la méthode utilisée (dans le premier post).

Naïvement, on ne connait pas le support de la v.a Y, on sait seulement qu'il est inclus dans . On scinde le support en deux (en zéro) et on on cherche l'expression de la fonction de répartition t->F(t) pour t<0. Dans ce cas,
P(Y\preceq t)= P(Y\in R)- P(Y\succ t) = 1 - P(Y\succ t)

ou

P(Y\preceq t)= P(Y\in R-) - P(Y\succ t) = 0 - P(Y\succ t)   ?

Sachant que t est dans - et non dans dans ce calcul.

Posté par
verdurinre : fonction de v.a. 05-03-24 à 18:18

Disons qu'il faut savoir que la fonction t\mapsto1/t n'est pas décroissante sur \R^*.

Posté par
Ulmierere : fonction de v.a. 05-03-24 à 18:19

Pourquoi on ne connait pas le support de Y ? C'est l'inverse de X et tu connais son support grâce à la densité f !

La densité généralise les histogrammes comme les intégrales riemanniennes généralisent les sommes discrètes. Si la densité est nulle sur un ensemble de mesure positive (un intervalle à bornes différentes, disons), une v.a ayant cette densité ne prend jamais ses valeurs dans cet ensemble, sauf sur un sous-ensemble négligable (ou de mesure nulle, si tu complètes la mesure) de l'univers.


Si tu veux compliquer les choses comme tu le proposes, tu peux couper Y en deux variables, une à valeurs dans R+ et l'autre dans R- mais alors attention car la loi de la somme ne sera pas la somme des lois mais leur produit de convolution !

Posté par
jbsphre : fonction de v.a. 05-03-24 à 19:53

En fait j'espérais que les calculs donnent directement le résultat, sans se soucier du support (on n'a jamais vu en cours l'image du support par une fonction) car ensuite j'ai le même exercice, avec l'inverse de la variable aléatoire mais le support de la première est , donc j'anticipais... L'exercice nous demande de faire le calcul de deux manières différentes. Et je me rends compte que je comprends pas du tout la méthode "directe" qui ne passe pas par la formule du transfert.

Posté par
verdurinre : fonction de v.a. 06-03-24 à 10:05

Pour la méthode de ton premier message il faut résoudre dans \R^* l'inéquation 1/x < t d'inconnue x en dehors de toute considération probabiliste.

Pour donner deux exemples :

— on a 1/x < 2 si et seulement si x\in ]-\infty\,;0[\cup ]0\,;\frac12[

— on a 1/x < -2 si et seulement si  x]-1/2 ; 0[

Posté par
jbsphre : fonction de v.a. 07-03-24 à 20:37

Ah oui ok, je me trompais à ce niveau! J'ai compris.
Merci beaucoup!

Posté par
GBZMre : fonction de v.a. 08-03-24 à 08:50

Bonjour,

verdurin @ 06-03-2024 à 10:05


— on a 1/x < 2 si et seulement si x\in ]-\infty\,;0[\cup ]0\,;\frac12[

Attention, coquille ! Il faut bien sûr lire
" si et seulement si \Large x\in \left] -\infty,\;0\right[ \cup\left]\frac12,\; +\infty\right[. "
Comme quoi, il est facile de se prendre les pieds dans le tapis en passant à l'inverse dans des inégalités.
Auitre petite chose : dans \LaTeX, les [ sont toujours ouvrants et les ] fermants, ce qui induit des défauts dans la typographie avec la notation française pour les intervalles. Il faut donc mettre systématiquement \left ] quand il est ouvrant et \right [ quand il est fermant  (avec bien sûr les \right et \left correspondants à l'autre extrémité).

Posté par
jbsphre : fonction de v.a. 05-04-24 à 19:46

Oui "petite" coquille, mais t'as bien pointé l'erreur, qui était sur la manière de résoudre cette équation !


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