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fonction de classe C1

Posté par
fusionfroide 31-12-06 à 14:46

Salut

J'aurai besoin d'un coup de main pour cette question :

Soit 4$f une fonction de 4$\R dans 4$\R de classe 4$C^2 et 4$g la fonction de 4$\R^2 dans 4$\R définie par 4$g(x,y)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y} si 4$x\neq y et 4$g(x,y)=f^'(x) sinon

Montrer que 4$g est de classe 4$C^1 sur 4$\R^2

A+

Posté par
fusionfroidere : fonction de classe C1 31-12-06 à 15:24

J'ai même pas dit merci ! Donc merci

Posté par
Cauchyre : fonction de classe C1 31-12-06 à 15:44

Le probleme se situe sur la droite y=x.

As-tu deja montrer la differentiabilité,calculer les derivées partielles?

Posté par
Camélia Correcteurre : fonction de classe C1 31-12-06 à 15:47

Il n'y a pas encore de quoi!

Pour la continuité, c'est un exo de passage à la limite classique, mais c'est peut-être inutile, puisqu'il suffit de montrer qu'il y a des dérivées partielles continues.

Je crois me souvenir que l'on utilise le théorème des accroissements finis à une variable de manière astucieuse. Si tu n'y arrives pas, je le rédigerai.

As-tu regardé l'exo que j'aimis et qui s'appelle Valeurs propres et fonctions implicites?

Posté par
fusionfroidere : fonction de classe C1 31-12-06 à 15:53

Je ne suis pas très sûr !

Je considère les applications partielles suivantes :

4$\rm g_1 : t -> g(t,0)=\frac{f(t)-f(0)}{t}

Donc 4$\rm \frac{\partial g}{\partial x}(0,0)=\lim_{t\to 0} \frac{f(t)-f(0)}{t}=f^'(0)

De même pour la dérivée partielle en 4$y.

Donc j'en déduis que : 4$\rm \frac{\partial g}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial g}{\partial y}(0,0)=f^'(0)

Posté par
fusionfroidere : fonction de classe C1 31-12-06 à 15:55

Salut Camélia !

Pour ton exo, j'avais réussi la première question qui n'a pas de rapport avec le calcul diff, mais ça m'a fait une bonne révision d'algèbre.

Pour la suite, j'essaye de comprendre ce que Raymond a rédigé

Posté par
Camélia Correcteurre : fonction de classe C1 31-12-06 à 15:58

Pourquoi (0,0)? Tu dois regarder un point (x0,x0).

Posté par
fusionfroidere : fonction de classe C1 31-12-06 à 15:58

Au temps pour moi !

J'étais resté sur un autre exo

Je réfléchis encore...

Posté par
fusionfroidere : fonction de classe C1 31-12-06 à 16:06

Ce qui m'énerve, c'est que la plupart des exos dans les TD font l'étude en un point (0,0) d'une fonction.

J'ai rarement des exos de ce genre, et dès qu'on sort des sentiers battus, je me perds !!

Mais bon, je cherche, je cherche.

Par contre je pars pour le réveillon en famille et ne reviendrai que ce soir.

Je posterai ce que j'ai fait ce soir. De toute manière ce n'est absolument pas urgent

A+

Posté par
fusionfroidere : fonction de classe C1 31-12-06 à 19:02

Je suis rentré pour repartir bientôt :D

Si quelqu'un a une idée

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction de classe C1 31-12-06 à 19:08

Bonsoir à tous

fusionfroide> J'ai peut-être ce qu'il te faut.
Pour x différent de y essaie de mettre g sous forme intégrale.
Ainsi, tu pourras appliquer les théorèmes généraux concernant les intégrales à paramètre.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : fonction de classe C1 31-12-06 à 19:09

Salut Kaiser et très bonne année en avance !

J'essaie de suite

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction de classe C1 31-12-06 à 19:10

Bonne année à toi aussi en avance.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : fonction de classe C1 31-12-06 à 19:21

Non je ne vois pas, désolé

Par contre, ne pourrait-on pas fixé x puis reconnaître un taux d'accroissement, et inversement, fixé y et reconna^tre un autre taux d'accroissement ?

Tout ça pour dire que ça ressemble fortement à un taux d'accroissement.

En tout cas, si tu ppouvais me dire comment tu mettrais ça sous forme intégrale !

A+

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction de classe C1 31-12-06 à 19:30

Pour la continuité, ce genre de raisonnement peut marcher mais il faut tout de même se méfier lorsque l'on travaille avec plusieurs variables. En fait, pour la continuité, on peut utiliser ce que préconise Camélia un peu plus haut : le théorème des accroissements finis.

En ce qui concerne la forme intégrale, pour x différent de y, on a :

\Large{g(x,y)=\bigint_{0}^{1}f'(tx+(1-t)y)dt}

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : fonction de classe C1 31-12-06 à 19:37

Comment as-tu trouvé cela ?  Par tatônnement ?

En tout cas merci !

Ensuite je devrai m'en sortir, et ce sera une bonne occasion de revoir le chapitre sur l'intégration

A+ et bon réveillon

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction de classe C1 31-12-06 à 19:41

En fait, ça ne vient pas de moi.
Plus précisément, en spé, on avait eu le même exo mais dans le cas particulier où f était la fonction sinus et c'est le prof qui nous as donnés l'astuce.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : fonction de classe C1 31-12-06 à 20:57

Une dernière question si tu es toujours là

On considère g fonction de U dans R différentiable sur U un ouvert convexe de R^n et a \in U

Que donne le théorème des accroissements finis associés à la fonction gof, définie par f(t)=a+t(x-a) ??


Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction de classe C1 31-12-06 à 21:09

oui, je suis toujours là !

Appelons h cette fonction, alors pour tous t et t' (appartenant à [0,1] je présume), on a l'existence de c compris entre t et t' tel que :

\Large{h(t)-h(t')=h'(c)(t-t')}

Or \Large{h'(c)=Dg(f(c))(f'(c))=Dg(f(c))(x-a)

Donc \Large{h(t)-h(t')=(t-t')Dg(f(c))(x-a)}

Ai-je répondu à ta question ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : fonction de classe C1 31-12-06 à 21:11

Tout à fait merci beaucoup !

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction de classe C1 31-12-06 à 21:12

Mais je t'en prie !

Posté par
Camélia Correcteurre : fonction de classe C1 01-01-07 à 15:43

Cette fois, je ne mets plus Bonne année, mais je le pense quand même!

Il y a une autre méthode qui marche et qui est peut-être plus naturelle: En écrivant la formule de Taylor-Lagrange, on a
f(a+h)=f(a)+hf'(a)+(h2f"(thh))/2
où 0t[sub]h[/sub1.

Avec ça, on arrive à montrer que les dérivées partielles de g existent et sont continues au point (a,a).

Posté par
fusionfroidere : fonction de classe C1 02-01-07 à 15:25

Kaiser > désolé j'avais parlé un peu trop vite !

On a pas plutôt 4$h^'(c)=[D_{f(a)}g]oD_af ?

Merci

Posté par
fusionfroidere : fonction de classe C1 02-01-07 à 15:25

Merci Camélia effectivement c'est beaucoup plus correct !

Posté par
fusionfroidere : fonction de classe C1 02-01-07 à 15:27

Oublie ce que j'ai dit

f est une fonction d'une varaible réelle:!

Posté par
Camélia Correcteurre : fonction de classe C1 02-01-07 à 15:29

Qui doit oublier quoi? ma méthode marche justement parce que f est réelle de variable réelle.

Posté par
fusionfroidere : fonction de classe C1 02-01-07 à 15:32

Je parlais à Kaiser (j'aurai du le préciser)

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction de classe C1 02-01-07 à 15:32

Camélia> je pense que fusionfroide s'adressait à moi (Cf son message de 15h25).

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : fonction de classe C1 02-01-07 à 15:40

Je continue l'exo !

Or, on a : 4$D_{f(a)}g(x-a)=\sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial x_i}f(a)(x_i-a_i)

Donc 4$gof(t)-gof(t^')=\sum_{i=1}^n [\frac{\partial g}{\partial x_i} (a+t(x-a))](x_i-a_i)

Mais la formule demandée est :

4$g(x)-g(a)=\sum_{i=1}^n [\frac{\partial g}{\partial x_i} (a+\theta(x-a))](x_i-a_i)

avec 4$\theta \in [0,1]

D'où vient ce 4$\theta ? Est-ce parce qu'on travaille dans un intervalle ?

Merci

Posté par
fusionfroidere : fonction de classe C1 02-01-07 à 15:44

Est-ce parce que tout point du segment 4$[a,x] peut s'écrire sous la forme 4$a+\theta(x-a) avec 4$\theta \in [0,1]

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction de classe C1 02-01-07 à 15:45

Dans ta deuxième somme, pourquoi n'y a-t-il pas de t' ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : fonction de classe C1 02-01-07 à 15:47

Oui j'ai fait une erreur !
Je revois ça...

Posté par
fusionfroidere : fonction de classe C1 02-01-07 à 15:54

Plus rigoureusement (en plus j'avais remplacé c par a)

Don on a avec tes notations :

\fbox{4$\rm D_{f(c)}g(x-a)=\sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial x_i}f(c)(x_i-a_i)}

Donc \fbox{4$\rm g(f(t))-g(f(t^'))=(t-t^')\sum_{i=1}^n [\frac{\partial g}{\partial x_i}(a+c(x-a))](x_i-a_i)}

Voilà je crois que c'est beaucoup plus rigoureux.

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction de classe C1 02-01-07 à 16:05

OK !
Pour ton message de 15h44, la réponse est oui (d'ailleurs, on aurait \Large{\theta=c})
En appliquant cette égalité, on exactement ce qui est demandé cat dans ce cas, pout t =1, f(t)=a et t'=0, f(t')=x.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : fonction de classe C1 02-01-07 à 16:09

Ah très bien vu !

Merci kaiser !

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction de classe C1 02-01-07 à 16:11

Posté par
robby3re : fonction de classe C1 02-01-07 à 23:25

Bonjour à tous et trés bonne année,en regardant cet exercice trés interressant,je n'ai pas bien compris comment vous avez fait pour montrer que les dérivées partielles sont continues,en particulier je n'ai pas bien compris comment on faisait avec la méthode de Camélia en écrivant la formule de Taylor-lagrange.
Merci d'avance de vos explications.

Posté par
Camélia Correcteurre : fonction de classe C1 05-01-07 à 16:29

Bonjour robby3. , je viens seulement de découvrir ton post.
Or donc, pour chercher si la dérivée partielle de g par rapport à x existe, on doit chercher la limite de (g(a+h)-g(a))/h pour h tendant vers 0. On troouve
\frac{f(a+h)-f(a)-hf'(a)}{h^2}=\frac{f''(t_hh)}{2} et ceci tend vers f"(a)/2 pour h tendant vers 0.
On a donc \frac{\partial g}{\partial x}(a)=f''(a)/2

Ensuite, on calcule la dérivée partielle par rapport à x en un point (a+h,a+k) et on cherche sa limite pour (h,k) tendant vers (0,0), on trouve la même chose, et ceci finit de prouver que la dérivée par rapport à x est continue. On fait pareil par rapport à y.

Posté par
robby3re : fonction de classe C1 05-01-07 à 18:34

ok d'accord Camélia,merci de m'avoir répondu,et à bientot.


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