Bonjour, tu n'as pas un théorème qui te permet de dire en fonction de la somme des dérivées partielles, si la somme est dérivable?
C'est le théorème de dérivation des limites, qui est en fait un théorème d'intégration.

Je ne me souviens plus tellement du théorème, parce qu'il faut bien l'avouer, il est un peu inutile, mais je crois que ca dit que si tu as une suite de fonctions dérivables, que la suite des dérivées converge uniformément vers une fonction g, et une petite condition supplémentaire (il faut qu'il y'ai un point où ca converge simplement pour pouvoir intégrer, en prenant ce point comme une des bornes), alors la suite de départ est dérivable, et de dérivée g = série des dérivées.
C'est encore vrai si on exige non pas que la fonction soit dérivable, mais soit C^n.
Ca doit être l'idée ici.

Sinon si je ne dis pas de bétise, exp(-kt^2)/(k^2+1) est une fonction analytique de t, quelque soit k, donc ta série devrait elle même êtr analytique, non? (théorème de Weierstrass)
Le fait que l'on te demande de montrer que ce soit C1, et non Coo me fait un peu douter...
Eventuellement, il peut y avoir d'autres moyens, comme la convergence monotone, ou la convergence dominée, etc qui permet de conclure.

merci otto d'avoir répondu,
tu as raison, je n'avais pas pensé à ce théroème que l'on a si peu utilisé :

Soit fn une série de fonctions de C1(I,K) telle que :
                        fn converge simplement
                        les séries de fonctions f ' n converge normalement sur tout segment de I,

                         alors fn est de classe C1 avec f ' n = (fn)'  (ces sommes allant de 0 à )

As-tu une idée pour montrer que f admet une limite en ?
Neo

en fait, je ne comprends pas le sens de la question puisque f n'est-elle pas une limite à elle seule ? (FONCTION SOMME)

Non attention a ce que tu dis, tu mélanges deux choses:

Une suite de fonctions (fn) peut etre vue comme une fonction de deux variables:
C'est une fonction H(x,n) ou x est réel (ou complexe, ou ce que tu veux, mais x est la variable de f) et n est un entier. Tu as H(x,n)=fn(x)

Ainsi, fn converge vers une certaine fonction f.
Sur H(x,n) ca veut simplement dire que si tu fixes x et que tu fais tendre n vers l'infini, alors tu vas obtenir en gros (a prendre avec des pincettes) H(x)=H(x,oo) qui est en fait ce que l'on appelle f, la limite simple de la suite fn.

Une fois ceci obtenu, maintenant tu fais varier x et tu regardes ce qui se passe. Notamment on te demande de faire varier x vers l'infini.
Attention, maintenant ta fonction dépend uniquement de x.

L'idée ici va je pense etre de trouver une majoration, ca va etre assez facile si je ne dis pas de bétise car a premiere vue on aurait envie de sortir l'exponentielle de la somme, (en majorant exp(-kt^2) par exemple) et de voir que la somme des 1/(k^2+1) converge.
Si je ne dis pas de bétise ca devrait marcher, mais il faut essayer quand meme, c'est peut etre faux.

A+

Bonjour neo et otto;
Aprés avoir établi que est sur (grace au théoréme de dérivation cité par neo) on a que et on voit bien que est décroissante sur () et comme elle est positive sur cet intervalle (somme infinie de quantités positives) on conclut qu'elle admet une limite finie en qui est la même en par parité.
Calcul de l:
On pourra remarquer que car et donc que .
Sauf erreurs bien entendu

Merci elhor pour ton raisonnement détaillé,

Néanmoins, en utilisant le théroème d'inversion des limites, je trouve que f admet 0 pour limite en l'infini.
Mais bon, je me suis sûrement trompé.

Neo

Bonsoir neo
Il me semble que la limite est nulle.
En effet, dans ton exercice, la somme commence à k=1 alors que dans le message d'elhor_abdelali, la série commence à k=0.

Kaiser

ok merci kaiser
merci beaucoup elhor
bonne nuit

Neo

Bonne nuit à toi aussi !