Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Fonction de classe C1

Posté par
lrousseau 12-12-23 à 23:33

Bonsoir,
Voici un exercice que j'ai fait, et j'aimerai avoir vos retours s'il vous plaît.
Voici le sujet :
Pour x ∈]1, +∞[, on pose f(x) =  ∫  dt/ln(t) de x à x².  Justifier que f est de classe C1 sur ]1, +∞[ et calculer sa dérivée.

Voici comment je m'y suis prise (attention c'est assez long je m'en excuse) :

Je rappelle que f définie sur un intervalle I est dite de classe C1 si :
- f dérivable sur I
- sa dérivée f ' est continue sur cet intervalle.

1) Je montre que f dérivable sur ]1, +∞[ :

Soit g(t) = 1/ln(t)
1/ln(t) existe si et seulement si x > 0 et t # 1
Donc donc la fonction f est définie sur ]0,1[ U ]1,+∞[
De plus 1/ln(t) est dérivable sur ]1,+∞[
Et 1/ln(t) est strictement positive sur ]1,+∞[
g(t) admet est donc continue sur ]1,+∞[ et admet une fonction primitive G sur ]1,+∞[

Et quelque soit x dans ]1,+∞[, f(x) = [G(t)] (de x à x²)
Et f(x) = G(x²) -G(x)

Pour montrer que f(x) est dérivable sur ]1,+∞[, nous allons montrer que G(x²) -G(x) est dérivable sur ]1,+∞[ :

On peut dire que G(x²) est une composition de G°u(x) avec u(x) = x²
u est une fonction polynôme, dérivable sur R⁺ (ou ]1,+∞[)
G est une fonction primitive de g(x) et est dérivable sur ]1,+∞[
Et quelque soit x dans ]1,+∞[, x² >= 1
Dons je peux dire que u(R⁺) est inclus dans ]1,+∞[
La composition G°u est dérivable sur ]1,+∞[
Donc G(x²) est dérivable sur ]1,+∞[
Et on a G(x) dérivable sur ]1,+∞[

Donc f est aussi dérivable sur ]1,+∞[

2)  sa dérivée f ' est continue sur cet intervalle

Soit x dans  ]1,+∞[. On a f(x) = G(x²) - G(x) = G°u(x) - G(x).

f'(x) =( G°u)'(x) - G'(x)
= G'(u(x)*u'(x) - g(x)
= g(x²)*2x -  g(x)
= 2x/ln(x²) -1/ln(x) = 2x/2*ln(x)  - 1/ln(x) = (x-1)/ln(x)

On montre que quelque soit x dans  ]1,+∞[, f'(x) est strictement positive

Soit x > 1,
x >1  ->  x-1 > 0
ln(x) > 0
d'où f'(x) > 0

Ainsi j'ai démontré que f est de classe C1

Pourriez vous me dire si je me suis bien prise s'il vous plaît ?

Posté par re : Fonction de classe C1 12-12-23 à 23:52

Bonjour lrousseau

Ça me semble un peu long : il ne s'agit que de justifier, pas de faire un roman

Tu découpes ton intégrale initiale en une intégrale sur [1,x] et une autre sur [1,x²] puis tu fais la différence.

Sur [1,x] il n'y a rien à dire, c'est le théorème fondamentale de l'analyse car l'intégrande est continue

Sur [1,x²], on compose x -> x² (qui est C1) avec t -> intégrale de (1 à t) f(h)dh qui est C1 (pour la raison évoquée ci-dessus) et donc la composée est C1

Posté par re : Fonction de classe C1 13-12-23 à 00:39

Bonjour jsvdb

En effet, il est long mais je voulais être sûre de ce que faisait.

Mais je me demande, pour votre démonstration, ai je droit de prendre [1, x] alors que x est privé de 1 ?

Si oui, je transforme donc ∫ dt/ln(t) de x à x² en ∫ dt/ln(t) de 1 à x² - ∫ dt/ln(t) de 1 à x ?

Et veuillez m'excusez je ne comprend pas votre 2e point par rapport à [1,x²]

Posté par re : Fonction de classe C1 13-12-23 à 02:19

Citation :
En effet, il est long mais je voulais être sûre de ce que faisait.

Je n'ai pas tout regardé dans le détail, car ce n'est pas nécessaire que ce soit si long !

Citation :
Si oui, je transforme donc ∫ dt/ln(t) de x à x² en ∫ dt/ln(t) de 1 à x² - ∫ dt/ln(t) de 1 à x ?

Bien entendu, c'est du Chasles élémentaire ! Ça marche pour n'importe quel x ...

Citation :
Et veuillez m'excusez je ne comprend pas votre 2e point par rapport à [1,x²]

Dès lors que tu comprends que la fonction $\varphi : t \mapsto \int_{1}^{t}{f(h)dh}$ est C1 sous réserve que $f$ soit continue [rappel : dans ce cas $\varphi'(t) = f(t)$ et on a bien continuité de $\varphi'$ ]
alors si tu poses $c(t) = t^2$ qui est également C1, alors $t\mapsto \varphi(t^2)= \int_{1}^{t^2}{f(h)dh}=t\mapsto (\varphi \circ c)(t)$ est C1 par composition élémentaire.

Posté par re : Fonction de classe C1 13-12-23 à 09:32

Dommage que lrousseau n'utilise pas les facilités du site pour écrire des formules et j'aurais eu tendance à ne pas lire.
Mais à la fin je vois que jsvdb (coucou ! on ne te voit plus souvent!) introduit $\int_1^xf$ sans mentionner qu'il fait apparaître une intégrale impropre.
En fait à la place de la borne 1 on peut mettre tout réel $a>1$ et il reste la différence de deux fonctions de classe $C^1$ .

Posté par re : Fonction de classe C1 13-12-23 à 10:09

Bonjour luzak
En effet, on me voit plus trop en ce moment car je suis assez pris par pas mal de choses diverses zévariées ! (et parfois avariées, mais bon c'est comme ça, c'est la vie !)

Sinon, bah j'adore toujours jouer avec le feu en maths ... ça n'a pas changé

Tu parles d'intégrale impropre avant lrousseau, mais en fait j'attendais qu'elle donne suite à sa réflexion et qu'elle me dise pourquoi le choix de la borne "1" est critiquable ( je ne pense pas que ce soit bien sorcier en 2eme/3eme année ).
Je voulais même prendre -1 au début mais ça faisait trop visible

lrousseau @ 13-12-2023 à 00:39

Mais je me demande, pour votre démonstration, ai je droit de prendre [1, x] alors que x est privé de 1 ?
Si oui, je transforme donc ∫ dt/ln(t) de x à x² en ∫ dt/ln(t) de 1 à x² - ∫ dt/ln(t) de 1 à x ?

Dommage pour le "si, oui" ... il aurait fallu pousser la réflexion jusqu'au bout !

Posté par re : Fonction de classe C1 13-12-23 à 10:21

salut

et même est-il besoin de passer par 1 (pb soulevé par luzak) ou par a ?

ici $f(x) = \int_x^{x^2} \dfrac 1 {\ln t} dt$ est un cas particulier du cas général $f(x) = \int_{u(x)}^{v(x)} \dfrac 1 {\ln t} dt$ avec $u(x) = x $ et $ v(x) = x^2$

mais sans même connaitre cela et comme la fait lrousseau en introduisant une primitive G de 1/ln (après justification) on a simplement comme elle l'écrit $f(x) = G(x^2) - G(x)$

le seul point important étant d'affirmer/justifier que si x > 1 alors x > 1 et x^2 > 1 (ce que fait lrousseau)

la justification de ce que f est C1 relève alors de résultats de continuité et dérivation de (presque) lycée (et devrait se rédiger en trois lignes max)

ensuite effectivement le développement est trop long : en particulier inutile de parler de l'intervalle ]0, 1[ puisque l'énoncé impose x > 1
il n'est pas nécessaire non plus d'introduire la fonction u ... même si sa peut être utile dans un premier temps pour bien clarifier et "coller" à son cours quand on commence à travailler ce genre d'exo

Posté par re : Fonction de classe C1 13-12-23 à 12:04

Bonjour,

luzak je suis désolée pour ma façon d'écrire les formules, je les utiliserai davantage à l'avenir !

Ensuite pour l'intégrale impropre jsvdb , je l'ai en effet apprise en étudiant et en l'appliquant sur les convergences.

jsvdb @ 13-12-2023 à 10:09

Dommage pour le "si, oui" ... il aurait fallu pousser la réflexion jusqu'au bout !

Le fait d'avoir fait cet exercice un peu tard a du jouer sur ma concentration..

Et carpediem merci pour votre retour !

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