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fonction de IL 1 (IR)

Posté par
audreys18 23-12-07 à 21:16

bonjour,
j'ai un exercice mais je ne sais pas comment commencer.
Voilà l'énoncé:
Trouver une fonction f(t) IL1() vérifiant l'équation:
\int_{-\infty}^\infty f(s)f(s-t)ds=e^{-\pi t^2}
pour tout t.
Rappel: la transformée de fourier de la fonction t->e-t² est la fonction \nu->e-\nu ^2
Comment dois-je m'y prendre? Est il possible de faire directement le calcul en remplaçant f(t) par t->e-t²?
Merci d'avance pour vos réponses.

Posté par
Cauchyre : fonction de IL 1 (IR) 23-12-07 à 21:28

Bonjour,

tu dois reconnaitre une convolution et tu sais que la transformée de Fourier échange convolution et multiplication.

Posté par
audreys18re : fonction de IL 1 (IR) 25-12-07 à 16:35

bonjour,
j'ai remplacé simplement f(t) par e-t² et donc j'ai trouvé directement le résultat. cependant je ne me suis pas servi de la transformée de fourier de la fonction.
Est ce juste?
merci d'avance pour vos réponses

Posté par
Cauchyre : fonction de IL 1 (IR) 25-12-07 à 22:54

Hmm tu es sûre de ton résultat(même si ca y ressemble fortement)?

Posté par
audreys18re : fonction de IL 1 (IR) 26-12-07 à 11:14

Bonjour
en refaisant mon calcul il s'est avérer que j'avais oublié une constante. donc j'ai pris f(t)=2\pi * e^{-\pi t}}
Que dois je faire de la transformée de fourier de cette fonction?
merci pour vos réponses

Posté par
Cauchyre : fonction de IL 1 (IR) 27-12-07 à 01:24

L'exo est simplement de trouver une fonction intégrable vérifiant ton équation, que dois-tu en faire après bah rien a priori.

Ici pour trouver une fonction le plus simple est de remarquer que l'équation s'écrit:

3$f\ast f= e^{-\pi t^2} donc en passant à la transformée de Fourier on obtient:

3$\hat{f \ast f}=\hat{f} \hat{f}=\hat{f}^{2}=e^{-\pi t^2} d'où:

3$\hat{f}=e^{-\frac{\pi t^2}{2}} et en utilisant l'inversion de Fourier on trouve une fonction f valable(il faut vérifier ensuite que les calculs qu'on a fait sont justifiables, ici c'est facile la fonction obtenue étant L1).

Tu peux regarder si tu trouves la même fonction que toi(je sais pas trop quelle méthode tu as utilisé, tu as intuité la solution), après ça dépend de la normalisation que t'as pris dans la définition de ta transformée de Fourier il y a des constantes qui peuvent apparaître.

Posté par
audreys18re : fonction de IL 1 (IR) 27-12-07 à 17:28

bonjour,
merci beaucoup pour ton aide et tes explications.
Par contre maintenant j'ai un problème d'ordre calculatoire.
la formule d'inversion est:
\int_\infty ^{\infty} f^(\nu) e^{2i\pi t} d\nu=f(t)
j'obtiens une intégrale du type
\int_\infty^{\infty} e^{-\pi/2\nu^2}e^{2i\pi\nu t} d\nu
là je suis bloquée, j'ai essayé une intégration par partie mais l'exponentielle reste la même.
Avez-vous une astuce?
merci pour vos réponses

Posté par
audreys18re : fonction de IL 1 (IR) 28-12-07 à 07:37


svp

Posté par
Cauchyre : fonction de IL 1 (IR) 28-12-07 à 18:57

A un petit changement de variable près, c'est la transformée de Fourier de la fonction du rappel 3$e^{-\pi t^2}.

Posté par
audreys18re : fonction de IL 1 (IR) 29-12-07 à 14:12

bonjour,
Après un changement de variable (t=\nu/\sqrt(2)) j'obitens que ma fonction est f(x) = e^{-\pi/2}
Est ce juste?
merci pour vos réponses

Posté par
audreys18re : fonction de IL 1 (IR) 30-12-07 à 21:37

SVP

Posté par
audreys18re : fonction de IL 1 (IR) 01-01-08 à 17:41

POuvez vous m'aider?
merci d'avance

Posté par
Cauchyre : fonction de IL 1 (IR) 03-01-08 à 21:20

Salut,

je comprend pas ta réponse tu as oublié x²?

Posté par
audreys18re : fonction de IL 1 (IR) 05-01-08 à 08:17

bonjour,
merci pour ta réponse
effectivement j'ai oublié t² donc f(x)=e-/2*t²
est ce juste?
merci d'avance pour vos réponses

Posté par
Cauchyre : fonction de IL 1 (IR) 06-01-08 à 00:13

Salut,

j'ai pas fait le calcul mais ca me semble cohérent.


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