Bonjour on a (x+1)²>=0 donc (x+1)²-3>=-3 en prenant x=-1 on atteint ce minimum.

En seconde, on apprend à dériver si je ne m'abuse? Donc  ta fonction g est dérivable sur R et g'(x)= 2x+2.
De plus, g'(x)0 si x-1 et g'(x)0 si x. Donc la fonction g est décroissante sur ]-;-1] et croissante sur [1;+[.
Elle admet donc un minimum au point d'abscisse -1. Si tu veux t'en persuader, effectues un tableau de variations ou bien une représentation graphique.

Oups , je reprends : problème lors de la rédaction : dans le x  , il faut comprendre x-1 (2e ligne). DE plus, g est croissante sur [-1;+[ et non [1;+[ comme je te l'ai indique (faute de frappe dsl).

Non, la dérivée s'apprend en première.
Il te suffit de faire comme a dit Cauchy ; (x+1)² a un minimum en -1 donc (x+1)²-3 a également un minimum en -1 qui vaut -3.

Ok fractal, je me rappelais plus. donc là en gros Cauchy a utilisé la définition du minimum ?

Oui c'est juste la definition du minimum pour la fonction g.Pas besoin de deriver dans des cas simples comme cela meme si souvent on a tellement l'habitude qu'on fonce sans regarder alors que ca aurait ete plus simple de revenir a la definition.