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Fonction de répartition
Posté par pfff
Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour cet exercice s'il vous plait
Soit X une variable aléatoire centrée réduite. Soit Y une variable aléatoire distribuée suivant la loi de Khi-deux à n degrés de liberté.
On suppose que les variables X et Y sont indépendantes.
Calculer la loi conjointe de X et Y.
Réponse
On cherche donc la fonction de répartition.
Vu que les variables aléatoires sont indépendantes on fait donc le produit de leur fonction de répartition. J'ai pu trouver pour la loi normale centrée réduite mais je n'arrive pas à trouver pour la loi de Khi-deux donc impossible de faire le produit.
Merci de m'aider.
On t'a dit de calculer la loi, ça veut pas forcément dire la fonction de répartition 
Aussi, je ne vois pas dans ton énoncé que X est de loi normale, seulement qu'elle est centrée réduite. Oubli ?
Bon, maintenant, si tu ne connais pas par coeur la fonction de répartition de la loi du khi2, tu peux la retrouver.
Y est égale en loi à la somme de n carrés de lois normales centrée réduites : il existe iid N(0,1) tq
.
Si tu veux absolument la fonction de répartition, tu peux prendre f continue bornée et calculer E(f(Y)) en utilisant le théorème de transfert et la densité des . Un loooong produit ed convolution, mais ça se fait.
Je te conseille de plutôt passer par la fonction génératrice des moments ou la transformée de Laplace
Tu peux finir le calcul via où gamma est la densité gaussienne standard et en faisant un petit changement de variable.
Si mon calcul n'est pas faux, ça doit faire (vérifie !)
Y'a plus qu'à mettre ça à la puissance n et à multiplier par exp(t²/2)