BONJOUR,
sur R\Q f est la fonction nulle.

Soit r \ . On montre que si s :    converge vers  r  alors f o s converge vers 0 .

Soit donc  s : telle que s r .

  cas 1 :  il existe N > 0 tel que s(n) \  pour n > N , on a f(s(n)) = 0 si n > N .
Il es clair que f o s 0

   cas2 :     s^-1 () est  infini   .
Il existe alors  une sous suite  w  de s  telle que w(n) pour tout n .
Autrement dit il existe     u :      et v : *  telle que |u(n)| v(n)  = 1  pour tout n  et telle que  w :=  u/v  .
On va donc montrer que v    +  car cela entrainera que  f o s = 1/v 0 .
  
              Supposons le contraire :
              Il existe alors une sous suite v ' de v qui est bornée .
             Et Il existe   une sous suite v '' de v ' qui converge .
Les v"(n) étant des entiers  v" est àpcr constante  : il existe N entier > 0 tel que  v"(n) = v"(N) pour tout n > N .   b :=  v"(N)  est dans *  
          v" est de la forme v o s  où s est une extractrice (  suite d'entiers  > 0 strictement croissante .)  La suite u o s  = v" . wos converge alors vers  r.a  .
u étant à valeurs dans est  donc àpcr constante  donc  a := rb     et r   
Ayant obtenu une contradiction on a bien montré que  v + .
  

salut

soit (p_n/q_n) une suite de rationnels irréductibles tendant vers le réel (non rationnel) r de [0, 1]  (*)

alors :

1/

2/ supposons donc que la suite (q_n) ne tende pas vers +oo

et soit q le max de cette suite alors la suite d'intervalle [k/q ; (k + 1)/q] est une partition de [0, 1] et il existe un réel k tel que

il suffit alors de choisir   pour contredire (*)

carpediem
  
Mais comment est ce que cela montre que ma fonction est continue sur les irrationnel ?

soit r un réel non rationnel quelconque et (u_n) une suite de réels tendant vers r ...

et soit e > 0 ...

alors évidemment si u_n est irrationnel alors f(u_n) = 0 donc |f(u_n) - f(r)| < e

si u_n est rationnel alors d'après ce qui  précède u_n = p_n/q_n et q_n --> +oo

donc f(u_n) = 1/q_n ... --> 0


pour être précis tu peux écrire r = k + x avec k = E(r) et x = r - k [0, 1[ ....

Bonjour !
Remarque 1 : la fonction n'est pas définie en 0
Remarque 2 : dois-tu faire l'étude sur ou sur les irrationnels de ? Ce n'est pas très clair en lisant ton "indication" .
Remarque 3. Doit-on démontrer que la fonction n'est pas continue en un point  rationnel ?
......................................
En fait on peut montrer (en choisissant ) que est continue en tout irrationnel et discontinue en tout rationnel.

Soit .
Il est évident que et que .

En choisissant un intervalle de centre , par exemple tu montres :
. est un ensemble fini
. Si et regarde ce que tu peux dire lorsque et conclus.

carpediem

Je vois, merci pour cette clarification. Quelque chose encore m'échappe , je ne vois pas comment choisir epsilon < min (r - k/q, (k + 1)/q - r) nous permet de contredire (*) ?

ben ça veut dire que les k/q restent plus loin de r que min (...) ... donc la suite ne peut pas tendre vers r ... contradiction avec l'hypothèse

luzak
Salut !
Oui il est possible de montrer que f est discontinue sur tout rationnel, j'ai déjà trouver une preuve pour ça.
Et pour répondre à ta question on doit faire l'étude sur R\Q

Merci pour ta réponse, mais pourquoi est ce que q>1/epsilon n'est pas plutôt 1/epsilon>q ?

carpediem
La définition de convergence dit que >0, |pn/qn - r|<
Pourquoi avoir < min (r - k/q, (k + 1)/q - r) ne permet-il pas |pn/qn - r|< ?
Désolé je n'arrive pas vraiment à saisir

carpediem
Je comprends maintenant! Merci beaucoup

de rien