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Posté par
carpediem
re : Fonction définie par une intégrale 11-07-19 à 12:41

il me semble que   (-1)^pU_{2p}+(-1)^pU_{2p+2}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^p-(-1)^p}{2p+1} \iff u_{2p} + u_{2p + 2} = \dfrac 1 {2p + 1} \left[ \dfrac {\sqrt 3 } 3 \left( \dfrac 1 3 \right)^p - 1 \right]  en multipliant par (-1)^p

Posté par
lake
re : Fonction définie par une intégrale 11-07-19 à 13:08

Oui mais là c'est cuit pour faire apparaître:

   1) Une somme télescopique.

   2) Et le S_n de la question c).

Posté par
carpediem
re : Fonction définie par une intégrale 11-07-19 à 13:23

en même temps je ne vois pas comment on peut télescoper avec le dénominateur 2p + 1 ...

mais bon je suis de loin vu qu'il y a tellement à scroller pour suivre le fil et qu'on s'y perd facilement ..

Posté par
Fifaliana36
re : Fonction définie par une intégrale 11-07-19 à 20:37

C'est quoi une somme télescopique ?

Posté par
lake
re : Fonction définie par une intégrale 11-07-19 à 22:06

C'est une somme où la plupart des termes s'annulent sauf éventuellement le premier et le dernier ; par exemple ici:

On développe le premier membre de la somme:

\sum_{p=0}^{n-1}\left((-1)^pU_{2p}+(-1)^pU_{2p+2}\right)=

   U_0+U_2-U_2-U_4+U_4+U_6-\cdots +(-1)^{n-2}U_{2n-4}+(-1)^{n-2}U_{2n-2}+(-1)^{n-1}U_{2n-2}+(-1)^{n-1}U_{2n}=

  U_0+(-1)^{n-1}U_{2n}

Pour carpediem:

le télescopage ne concernait que le premier membre.

Si tu avais mieux "scrollé", tu aurais vu que ton expression était demandée en 1)a):

  

Citation :
1)a) utiliser la définition de Unpour montrer que p,
U2p+U2p+2=\frac{\frac{\frac{}{}\sqrt3{}}{3}(\frac{1}{3})^p-1}{2p+1}


et que la suite de l'énoncé:

Citation :
2)a) vérifier que pour tout p
(-1)^p U _{2p} +(-1)^p U_{2p+2} = \frac{(\frac{\sqrt{3}}{3})(-\frac{1}{3})^p-(-1)^p}{2p+1}


permettait de répondre quant à la limite de la suite (S_n);

on obtient sans trop de difficultés:

 (-1)^{n-1}U_{2n}-\dfrac{\pi}{12}=-\sqrt{3}\,S_n

Posté par
Fifaliana36
re : Fonction définie par une intégrale 12-07-19 à 21:49

Ok merci

Posté par
Fifaliana36
re : Fonction définie par une intégrale 15-07-19 à 20:17

Et l'exo est terminé, merci à vous tous.
Juste pour me rassurer, comment fait-on pour tracer la courbe de f (partie fonction). Et je ne comprends pas trop sur la démonstration de Un0, (partie suite).

Posté par
lake
re : Fonction définie par une intégrale 16-07-19 à 09:34

Tu sais beaucoup de chose sur f:

  - f définie sur \mathbb{R} est impaire.

  - f'(x)=\dfrac{e^x}{1+e^{2x}}>0 sur \mathbb{R}

  - \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\dfrac{\pi}{4} --> Asymptote horizontale en +\infty d'équation y=\dfrac{\pi}{4} (et une autre par symétrie par rapport à l'origine en -\infty)

Et cerise sur le gâteau, avec tout ce qu'on a raconté, tu as f(x)=\arctan\,(e^x)-\dfrac{\pi}{4}. Ce n'est pas utile pour tracer la courbe.

Citation :
Et je ne comprends pas trop sur la démonstration de Un0, (partie suite).


Voyons, si a<b et h(x)\geq 0 sur [a,b], tu sais que:

  \int_a^bh(x)\,\text{d}x\geq 0

et donc  \int_b^ah(x)\,\text{d}x=-\int_a^bh(x)\,\text{d}x\leq 0

Non ?

Posté par
Fifaliana36
re : Fonction définie par une intégrale 16-07-19 à 17:10

Donc, si je vois bien, on ne fait que tracer la courbe sans tableau de valeur n'est ce pas ? Juste en respectant les branches infinies.

Posté par
lake
re : Fonction définie par une intégrale 16-07-19 à 17:20

Mais oui; tu ajouter la tangente à l'origine (de pente \dfrac{1}{2}):

Fonction définie par une intégrale

Posté par
Fifaliana36
re : Fonction définie par une intégrale 16-07-19 à 19:04

Merci du fond du cœur à vous tous pour m'avoir tant aidé.

Posté par
lake
re : Fonction définie par une intégrale 16-07-19 à 19:18

Un retour, ça fait toujours plaisir!
Mais ne t'y trompe pas: on y trouve toutes et tous notre compte!

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