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fonction definie par une integrale

Posté par
aya4545 22-02-22 à 19:07

bonjour
priere me guider pour terminer cet exercice
F definie sur [0; +\infty[ par :
F(0)=0 \quad  F(1)=\ln2 \quad F(x)=\int_x^{x²}{\frac1{\ln t}}dt si x\neq0 et  x\neq1
1)montrer que \forall x \in ]0 1[ \quad \frac{x²-x}{2\ln x}\leq F(x)\leq \frac{x²-x}{\ln x}
2) Etudier la continuité et la derivabilité de  F adroite de 0
3) montrer que \forall x \in ]0 1[ \quad x²\ln 2\leq F(x) \leq x\ln 2 et \forall x \in ]1 +\infty[ \quad x\ln 2\leq F(x) \leq x²\ln 2
4) en deduire que F est continue en 1
5) en utilisant le TAF montrer que F est derivable au point 1et que F'(1)=1 incapable de faire la derniere question le reste est faisable et merci

Posté par
carpediemre : fonction definie par une integrale 22-02-22 à 19:19

salut

dans l'intervalle ]0, 1[ :

a/ comparer x et x^2
b/ borner \dfrac 1 {\ln t}

2/ se déduit de 1/ ...

3/ même principe qu'en 1/ ...

4/ se déduit de 3 ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : fonction definie par une integrale 22-02-22 à 19:22

Bonsoir à tous les deux,
C'est trop discret par oubli de passer à la ligne :

Citation :
incapable de faire la derniere question le reste est faisable et merci

Posté par
aya4545re : fonction definie par une integrale 22-02-22 à 19:24

merci carpediem les questions de 1) à 4) je les ai faite je suis bloquée dans la derniere et merci

Posté par
carpediemre : fonction definie par une integrale 22-02-22 à 19:41

ha damned !!!

ça se voit effectivement pas !!!

il faut donc distinguer deux cas : sur ]0, 1] et sur [1, +oo[

on applique alors le TAF entre 1 et x dans chaque cas : F(x) - F(1) = (x - 1) F'(t) ...

donc d'abord calculer F'(t)

mais peut se faire avec 3/ sans le TAF ce me semble-t-il ...

Posté par
aya4545re : fonction definie par une integrale 22-02-22 à 20:00

premier cas  x\in ]0, 1] on applique le TAF sur [x;1] donc il existe c\in]x;1[ tel que
F(x) - F(1) = (x - 1) F'(c) =\frac{(x-1)}{\ln c}

\frac{1}{\ln x}>\frac{1}{\ln c}  maisje ne vois pas quoi faire apres

Posté par
carpediemre : fonction definie par une integrale 22-02-22 à 20:41

ce qui est étonnant c'est qu'avec :

aya4545 @ 22-02-2022 à 19:07


3)  \forall x \in ]0, 1[ \quad x²\ln 2\leq F(x) \leq x\ln 2 et \forall x \in ]1, +\infty[ \quad x\ln 2\leq F(x) \leq x²\ln 2

donc

\forall x \in ]0, 1[  :  (x^2 - 1)\ln 2 \le F(x) - F(1) \le (x - 1)\ln 2 \\ \forall x \in ]1, +\infty[  :  (x - 1) \ln 2 \le F(x) - F(1) \le (x^2 - 1)\ln 2

alors en divisant par x - 1 ...

pour en revenir ton msg :

peux-tu nous donner F'(x) pour x 1 ?

Posté par
aya4545re : fonction definie par une integrale 22-02-22 à 20:51

bonsoir F'(x)=\frac{1}{\ln x}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : fonction definie par une integrale 22-02-22 à 21:13

@carpediem,
Ce que tu as écrit à 20h41 donne \dfrac{F(x)-F(1)}{x-1} compris entre ln(2) et (x+1)ln(2).
Ce qui ne permet pas de conclure pour 5) me semble-t-il.

@aya4545,
Tu as dérivé comme si les bornes de l'intégrale étaient a et x.
Je te conseille de noter g la fonction définie par g(x) = 1/ln(x) et G une de ses primitives.
On a alors F(x) = G(x2) - G(x).

Posté par
aya4545re : fonction definie par une integrale 22-02-22 à 22:01


je m excuse pour tout a l heure je n ai pas fait attention
F'(x)=2x\frac{1}{\ln x ²}-\frac{1}{\ln x}=\frac{x-1}{\ln x}

Posté par
aya4545re : fonction definie par une integrale 22-02-22 à 22:37

premier cas  x\in ]0, 1[ on applique le TAF sur [x;1] donc il existe c\in]x;1[ tel que
F(x) - F(1) = (x - 1) F'(c) =\frac{(x-1)}{\frac{c-1}{lnc}} donc \frac{F(x)-F(1)}{x-1}=\frac{1}{\frac{lnc-ln1}{c-1}}
1<c<x donc lorsque x\to1 alors c\to1 donc F'_g(1)=1 meme raisonnement pour montrer que F est derivable a droite de 1

Posté par
carpediemre : fonction definie par une integrale 22-02-22 à 22:57

Sylvieg oui mais ce qui est étonnant c'est :

pour x < 1 : 2 ln 2 < F'(1) < ln 2 : incohérent

pour x > 1 : ln 2 < F'(1) < 2 ln 2 : cohérent


aya4545 : ok !!

Posté par
larrechre : fonction definie par une integrale 22-02-22 à 23:03

Bonsoir,

Pour x<1, quand on divise par x-1, il faut inverser les inégalités.

Posté par
aya4545re : fonction definie par une integrale 22-02-22 à 23:33

\forall x \in ]0, 1[  :  (x^2 - 1)\ln 2 \le F(x) - F(1) \le (x - 1)\ln 2
donc  \forall x \in ]0, 1[  :  \ln 2 \le \frac{F(x) - F(1)}{x-1} \le (x + 1)\ln 2 \le 2\ln 2
\forall x \in ]1, +\infty[  :  \ln 2 \le \frac{F(x) - F(1)}{x-1} \le (x+1)\ln 2

Posté par
carpediemre : fonction definie par une integrale 22-02-22 à 23:53

larrech : damned !!! bien vu et merci !!

Posté par
larrechre : fonction definie par une integrale 23-02-22 à 12:45


Retrouvé dans les  archives intégrale de 1/ln(t)

Posté par
carpediemre : fonction definie par une integrale 23-02-22 à 15:50

effectivement c'est un exercice que l'on retrouve "assez régulièrement" en math sup maintenant ...


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