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fonction dérivable et existence d un c
bonjour
on me donne encore une relation avec laquelle je dois montrer l'existence d'un c qui appartient a l'intervalle ouvert a,b
j'ai f'(c)=(f(c)-f(a))/c-a
et pour montrer l'existence de c on me dit d'utiliser la fonction qui a tout x associe (f(x)-f(a)/x-a
on a f(a)=f'(a)=f(b)=0
f est une fonction dérivable sur l'intervalle fermé a,b
pour cet exercice j'ai aussi pensé au développement limité en remplaçant le f(a) dans f' par 0 ainsi le numérateur correspondait a x-xo mais pour le dénominateur cela ne marche pas.J'ai aussi remarqué que la fonction donné ressemblée à f'(c) mais celle-ci n'est pas dérivée et est en x. Faut-il faire la dérivé de la fonction donnée pour montrer que c existe?
pour dériver cette fonction f il faut procéder par le type u'/v ou alors on dit que la dérivée est f'(x)-f'(a)/(x-a)'?
merci de me dire si je pars dans la bonne voie parce que je n'en suis pas sur vu que je suis bloquée.
Bonjour,
Ca s'appelle le Théorème des Accroissements Finis, et ça se démontre précisément en appliquant le Théorème de Rolle à la fonction (f(x)-f(a)/(x-a).
Revoie donc le Théorème de Rolle dans ton cours et tu comprendras tout !
J'ai regardé ce que tu m'as dit et j'ai trouvé ceci:
si j'applique le théorème de Rolle à la fonction donnée j'arrive à trouver que f'(c)=0. La fonction f est continue et dérivable, f(a)=f(b) donc on a bien c qui existe avec f'(c)=0=(f(c)-f(a))/c-a
je suis sur la bonne voie?
merci de ton aide
C'est exactement ça. L'idée du théorème, c'est de montrer, en termes géométriques, que si une courbe plane représentant une fonction x -> y = f(x) assez régulière passe par deux points A et B, il y a entre A et B un point C sur la courbe tel que la tangente à la courbe en C soit parallèle à la droite AB.
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