Niveau Licence Maths 1e ann

Fonction Dilogarithme

Posté par
Banthasmaker 10-03-12 à 23:28

Bonsoir!

Je fais des annales du concours CCP DEUG L2 que je prépare (si quelqu'un trouve des banques de corrigés de maths ou de méca, je suis preneur d'ailleurs)

Voici un exercice :  (CCP DEUG L2, sujet Maths 2, 2011)

Autour de la fonction dilogarithme

Dans ce problème, on étudie la fonction dilogarithme, définie pour x[-1,1[ par :
$L_i(x)=-\int_0^{x} \frac{ln(1-t)}{t}  dt$ .
On définit sur [-1,1[ la fonction
$f par f(t)=-\frac{ln(1-t)}{t}$ si t non nul, et f(0)=1

1.Résultats préliminaires :

1.Déterminer la nature de la série $\sum_{n \ge 1}^\infty \frac{1}{2^n n²}$

-->Critère de D'Alembert donne série convergente (le quotient an+1/an tend vers 1/2 inférieur à 1)

2. On note u la fonction définie sur de la façon suivante : u est une fonction paire, 2 périodique définie pour x[0,] par u(x)=x²
  (a) Déterminer la série de Fourier de u (il est inutile de détailler les calculs, on pourra utiliser la calculatrice).

---> La série de Fourier est la série des coeffs de Fourier multipliés par exp(ikx) de - à +.
Quelqu'un saurait-il m'expliquer comment faire le calcul avec une calculatrice Ti?

  (b) Justifier avec soin que la série de Fourier de u converge vers une fonction que l'on précisera. En déduira la valeur du réel $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n²}$

Merci!

Posté par Fonction dilogarithme 11-03-12 à 12:16

2.a. La fonction étant réelle et paire, il paraît plus simple d'écrire la série de Fourier sous la forme trigo (on n'a que des cosinus).
Je ne comprends pas bien pourquoi il semble déconseillé de faire les calculs exacts qui sont vraiment simples, d'autant plus que ces calculs sont indispensables pour faire la question 2.b.

2.b. Théorème de convergence simple de Dirichlet.
Pour la fin, utiliser le résultat précédent en choisissant une valeur convenable de la variable x.

Posté par re : Fonction Dilogarithme 11-03-12 à 13:16

Pour le coefficient de Fourier, je trouve 1/k²

Pour le calcul de série, j'ai donc $\sum_{i=-\infty}^{+\infty} \frac{exp(ikx)}{k²}$ à décomposer c'est bien ça?

Merci!

Posté par Fonction dilogarithme 12-03-12 à 13:46

Et si k=0 ?

Je t'ai conseillé d'utiliser le développement de Fourier sous forme trigonométrique (toujours à préférer dans le cas d'une fonction paire ou impaire).

Posté par re : Fonction Dilogarithme 12-03-12 à 20:05

oui et c'est ce que j'ai fait puisque j'ai utilisé le fait que la fonction est paire pour calculer le ak en cosinus plutôt que le coefficient ck brut.

On obtient donc bien mon résultat ou non pour ma série? Je n'ai pas encore calculé cette somme, mais j'aimerais avoir votre avis sur sa justesse avant de me lancer

Posté par Fonction dilogarithme 13-03-12 à 10:50

Je ne comprends pas ta question. Qu'as-tu trouvé pour $a_k$ ? Et puis quand tu dis "le coefficient de Fourier est $1/k^2$ ", tout d'abord (déja signalé) le cas k=0 ne te gêne pas ? Et puis si $k \neq 0$ le coefficient ( $c_k, a_k ??$ ) n'est pas $1/k^2$ . Il y a des formules précises à appliquer.

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