Inscription / Connexion Nouveau Sujet
fonction, équation
Bonjour, je suis un peu perdu, pourriez vous m'aidez merci, donc voici l'énoncé:
On considère la fonction f définie pour tout x réel par :f(x)=x^3-3x et on appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
1. en affichant la courbe représentative de f à la calculatrice,quelle propriété géométrique semble avoir la courbe C? démontrer cette propriété.
Alors j'ai constaté sur la calculatrice que C à un centre de symétrie à l'origine...mais je ne sais pas le démontrer
2.on se propose d'étudier le sens de variation de f sur [0;+
[.
a. développer (b-a)(b²+a²+ab).
Ici j'ai trouvé que (b-a)(b²+a²+ab)= b^3+ba²+ab²-ab²-a^3-a²b = b^3-a^3 Est-ce juste?
b. pour tout a et b réels positifs, avec a < b, calculer et simplifier le rapport (f(b)-f(a))/b-a.
j'ai trouvé que c'était égale à f(1). Est ce juste ?
c.étudier le sens de variation de f sur l'intervalle [0;1]; puis sur l'intervalle [1;+[.
Alors là je pense m'être trompée j'ai trouvé:
0<a<b<1
0<a*x^3 < b*x^3<1a*x^3-3x > b*x^3-3xf(a)>f(b). donc f est décroissante sur [0;1]. Ce qui m'embête c'est que j'ai trouvé exactement la même réponse pour [1;+[. C'est bon ?
d. que peut-on déduire de la question 1. quand au sens de variation de f sur ]-;0]?
Ici j'ai répondu que f égale f(a)<f(b). donc croissante mais je ne sais pas l'expliquer et je n'en suis pas sûre.
3. m étant un réel, discuter, suivant les valeurs de m, graphiquement, le nombre et l'existence des solutions de l'équation f(x)=m.
J'ai répondu que les solutions de l'équation allaient de - l'infini à + l'infini, mais est ce vraiment ce qu'il faut dire ?
4.on considère l'équation x^3+px+q=0. On sait que cette équation admet
_ trois solutions dans R lorsque le nombre K=4p^3+27q² est négatif ou nul.
_ une seule solution lorsque ce nombre K est positif.
a. calculer K pour l'équation: x^3-3x+2=0 et en déduire le nombre de ses solutions.
j'ai calculé: x^3-3x+2=0
x^3-3x=-2
x^3-x=-2/3 et je ne sais pas aller plus loin dans mon calcule..mais tel qu'il est K serait négatif et il y aurait donc trois solutions à l'équation.
b.exprimer en fonction de m le nombre K pour l'équation: x^3-3x-m=0 et retrouver les résultats de la question 3.
là je suis désolé mais je n'y arrive pas du tout...
Voilà merci beaucoup de bien vouloir m'aider.
Bonjour,
"Alors j'ai constaté sur la calculatrice que C à un centre de symétrie à l'origine...mais je ne sais pas le démontrer"
f(x) = x^3-3x = x(x²-3)
f(-x) = -x((-x)²-3) = -x(x²-3) = -f(x)
donc f(x) = -f(-x) : la fonction est impaire : sa représentation graphique possède donc le point O(0,0) comme centre de symétrie.
oui merci, je ne savais pas comment appeler cette courbe.
soient a et b vérifiant
donc
(1)
donc
(2)
donc
(3)
(1)+(2)+(3) donc
d'où
donc sur [0;1]
la fonction est donc décroissante sur cet intervalle
A toi de reprendre une démarche similaire pour l'intervalle restant ...
Par symétrie, si la fonction est décroissante sur [0;1] alors est l'est aussi sur [-1;0]
alors pour [1;+[ ça donne:
1<a<b<+
a<+donc a²<+
b<+donc b²<+
1<a<b<+donc ab<+
a²+b²+ab-3<1
donc (f(b)-f(a))/b-a<1 sur [1;+[
la fonction est donc décroissante sur l'intervalle
je crois que je me suis embrouillée quelque par
En effet, tu t'es plantée dans ta denière intervention.
1) Tu ne dois pas faire intervenir l'infini dans une inégalité.
Utilise la forme 1<a<b qui est suffisante.
2) b>a implique b-a>0 donc [f(b)-f(a)]/[b-a] est du même signe que [f(b)-f(a)]
Une fonction est croissante si f(b)>f(a) quand b>a. Le but de l'exercice est d'étudier le signe de [f(b)-f(a)]/[b-a] (par rapport à zéro et non un) afin de déduire les variations de la fonction f.
Sur le même principe que précédemment :
1 =< a < b
donc a² >= 1 et b² > 1 et ab >= 1
donc a²+b²+ab > 3 donc a²+b²+ab -3 > 0
donc [f(b)-f(a)]/[b-a] >0 pour 1 =< a < b
la fonction est donc croissante sur l'intervalle [1;+oo[
A partir des questions précédentes, tu obtiens une image des variations de la fonction sur R+ (respectivement sur R- par parité). Identifie le minimum local de la fonction sur R+ (respectivement sur R-) et regarde quelles sont les valeurs que la fonction f peut atteindre. Déduis-en par conséquent les "solutions" de l'équation qui t'est donnée (valeurs possibles du paramètre m).
Je n'ai pas regardé la question suivante. Je reviendrai ultérieurement.
Matthieu.
Bonjour,
x^3-3x+2=0 est de la même forme que x^3+px+q=0
par identification (terme à terme) : p=-3 et q=2
donc K = 4p^3+27q² = 4(-3)3+27(2)2 = 27(-4+4) = 0
K est nul donc il existe 3 solutions dans R à l'équation x^3-3x+2=0
Annuler
connectez vous