Bonjour, aspic1

L'existence de la suite (x_n) provient du fait dans tout intervalle de centre x, il y a au moins un irrationnel.
La fonction f n'est donc pas continue en x (rationnel) puisque
lim x_n = x    et   lim f(x_n)=0 (qui n'est pas égal à f(x))

Oui il y a un théorème qui dit que entre deux réels il y a toujours au moins un irrationnel...

Sinon lim f(x_n) = 0 = f(x) dans le cas ou x est irrationnel non ? mais c'est pas vrai pour tout les x... donc c'est pas continue en x ?

Pour la suite,

Cette fois, x n'est pas rationnel !

a) Montrer qu'il existe une suite (r_n) de rationnels tels que lim r_n = x
====> on peut donc utiliser l'argument de la question 1 ?

b) Soit, pour q entier non nul, la distance d_q = min { |x - p/q|, p etant un relatif } de x à l'ensemble 1/q x Z (ensemble des relatifs). Montrer que d_q > 0.
   ====> alors la je comprends meme pas la question !

merci

Pour la question a: on peut utiliser l'argument de la question 1

Pour la question b: R étant archimédien, il existe un unique entier k tel que

On a:

"archimédien" ? je n'ai pas vu cette notion... y'a t-il une autre méthode pour cette question ? sinon ca veut dire quoi ?

Je vais rédiger autrement.

Supposons x>0. La suite est une suite strictement croissante, de limite infinie.
Il existe donc k tel que:

Même idée si x est strictement négatif.

Ok je comprends pour l'encadrement mais j'ai du mal à faire le rapprochement avec : d_q = min((k+1)/q - x, x - k/q)  sachant que dans l'énoncé, on définie d_q = min{|x - p/q| , p etant relatif}. Ou est le p dans ta relation, c'est ton "k" ?

merci encore pour ton aide.

pour tout p, p/q n'appartient pas à l'intervalle ]k/q,(k+1)/q[ et x est dans cet intervalle; donc:

ok merci.

Pour finir, soit (r_n) une suite de nombre rationnels qui tend vers x. On écrit pour tout n entier,
r_n = p_n / q_n où (p_n,q_n)€ Z x N*.

Montrer que la limite de q_n quand n tend vers plus l'infini est égal à plus l'infini.

Mon DM est pour demain si tu as le temps, répond moi ce soir sinon c'est pas grave et merci beaucoup!