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Fonction et polynôme
Bonjour, j'espère que vous profitez bien de ces fins de vacances. Pour ma part je bloque sur cet exercice. Si quelqu'un a une idée....
Merci d'avance.
On considère la fonction f définie pour tout réel x 
-{1} par: f(x)=ex /(1-x).
Ainsi f est indéfiniment dérivable sur -{1} comme quotient à dénominateur non nul de fonction indéfiniment dérivables sur -{1}.
pour tout n 
*, f(n) désigne la dérive n-ième de f par convention, on pose f(0)=f
1) a) montrer que, pour tout n on a:
pour tout réel x -{1}, f(n)(x) = (ex.Pn(x))/(1-x)n+1
où Pn est un polynôme de degré n dont on précisera le terme plus haut degré.
J'ai essayé avec la formule de Leibniz, mais cela ne me donne as grand chose d'intéressant.
b) Pour tout n , pour tout réel x , exprimer Pn+1(x) en fontion de Pn(x) et P'n(x)
c) pour tout n calculer Pn(1)
d) Donner les expressions de Po, P1 et P2.
Les question b, c et d je ne les ai pas encore tenté car je ne connais pas P.
Je pense qu'une petite récurrence fera l'affaire pour la question a)
- pour le b), pas besoin de a) : il suffit de calculer fn+1(x) en fonction de fn(x)
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