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Fonction et sa transformée de Fourier

Posté par
Nilpotent 14-04-18 à 18:51

          Bonjour,

Voici cette fonction : f(t)=exp(-a|t|) je dois calculer sa transformée de Fourier.

Je trouve f(chapeau) = (sqrt(2)iw)/(pi(w²+a²))

Je ne suis pas sur du résultat

Posté par
Nilpotentre : Fonction et sa transformée de Fourier 14-04-18 à 18:54

a R+ et t R

Posté par
jsvdbre : Fonction et sa transformée de Fourier 14-04-18 à 19:44

Bonjour Nilpotent
Ce n'est pas bon, car la transformée de Fourier de cette fonction est une fonction réelle.

Posté par
Nilpotentre : Fonction et sa transformée de Fourier 14-04-18 à 19:51

Ah mince j'ai du me planté, tu peux me confirmer que dans le calcule de sa TF il faut intégré séparément sur -inf 0 et 0 +inf ?

Posté par
larrechre : Fonction et sa transformée de Fourier 14-04-18 à 20:01

Bonjour,

jsvdb (bonjour !) étant momentanément parti, je me permets d'intervenir. Oui, il faut distinguer les 2 cas, mais moyennant un petit changement de variable, on regroupe les 2 intégrales en une seule.

Posté par
Nilpotentre : Fonction et sa transformée de Fourier 14-04-18 à 20:13

Bonjour Larrech, merci pour ta réponse.

Je m'étais trompé dans le signe en faisant une primitive de l'exponentielle.

On est censé trouvé (2a)/((sqrt(2pi)(a²+w²))

Posté par
seigneurre : Fonction et sa transformée de Fourier 14-04-18 à 21:01

Cela correspondrait a 1/p+a  .
Transformée de Laplace ou transformé e se Fourier

Posté par
jsvdbre : Fonction et sa transformée de Fourier 14-04-18 à 23:17

larrech @ 14-04-2018 à 20:01

Oui, il faut distinguer les 2 cas, mais moyennant un petit changement de variable...

Bonjour larrech.
En fait, il y a juste besoin de voir que la fonction est paire pour faire apparaître le coefficient 2 et se limiter à un seul calcul simple. 🙂

Posté par
jsvdbre : Fonction et sa transformée de Fourier 16-04-18 à 12:10

Rappel : si f est réelle est paire et si \mathfrak F(f) existe, alors \mathfrak F(f) est réelle et paire.

On a alors \begin {aligned}\mathfrak F(f)(x) = 2 \mathbf{Re}\left(\int_0^\infty{f(\xi)e^{-2i\pi x\xi}d\xi\right)\red =2 \int_0^\infty{f(\xi)\cos(2\pi x\xi)}d\xi\end{aligned}

Dans le cas présent : f(\xi) = e^{-a|\xi|} avec a > 0

\begin {aligned}\mathfrak F(f)(x) = 2 \mathbf{Re}\left(\int_0^\infty{e^{(-a-2i\pi x)\xi}d\xi\right)\end{aligned}

\begin {aligned}\mathfrak F(f)(x) = 2 \mathbf{Re} \left[ \dfrac{e^{(-a-2i\pi x)\xi}}{-a-2i\pi x}\right]_0^\infty\end{aligned}

\begin {aligned}\mathfrak F(f)(x) = 2 \mathbf{Re} \dfrac{1}{a+2i\pi x}\end{aligned}

\blue \boxed {\mathfrak F(f)(x) = \dfrac{2a}{a^2+4\pi^2 x^2}}

Posté par
larrechre : Fonction et sa transformée de Fourier 16-04-18 à 12:41

Bonjour,

J'ai l'impression que Nilpotent utilise une définition différente dela transformée de Fourier.

Ayant oublié le théorème, j'avais simplement proposé :

\int_{-\infty}^0 exp(-a|t|) exp(-i\omega t)dt=\int_{-\infty}^0 exp(at) exp(-i\omega t)dt=-\int_{+\infty}^0 exp(-au) exp(-i\omega u)du=\int_0^{+\infty} exp(-at) exp(-i\omega t)dt
d'où en ajoutant à l'autre, etc...

Posté par
Nilpotentre : Fonction et sa transformée de Fourier 17-04-18 à 10:32

   Bonjour,
J'utilise la transformé de Fourier avec la normalisation 1/(sqrt2pi))

Posté par
larrechre : Fonction et sa transformée de Fourier 17-04-18 à 11:07

Bonjour,

dans ce cas, effectivement

{\mathfrak F(f)(\omega) = {\sqrt\dfrac{2}{\pi}}\dfrac{a} {(a^2+\omega^2)}}


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