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fonction et suite

Posté par rust (invité) 20-05-06 à 18:35

bonjour,

Soit f une fonction réelle continue sur R+
On veut montrer que si f(x²)=x, alors f est constante sur R+.

1.Etudier la suite de terme general u_n=a^{{(\frac{1}{2})}^n}=a^{\frac{1}{2^n}}

Donc j'ai montrer que si a>1, alors un est décroissante, si a<1 alors elle est croissante.
Et sa limite quand n tend vers +infini est 1.

2.En deduire que si f(x²)=f(x) alors f est constante sur R+.

Et la je n'arrive pas a faire le lien.
Merci de votre aide

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction et suite 20-05-06 à 18:41

Bonjour rust

Soit x un réel positif quelconque.
Montre alors par récurrence sur n, que pour tout n \Large{f(x)=f(x^{\frac{1}{2^{n}}})}.
Ensuite, utilise la continuité de f en 1.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction et suite 20-05-06 à 18:46

J'oubliais : dans un premier temps suppose que x est non nul (tu traiterais le cas x=0 à la fin).

Posté par rust (invité)re : fonction et suite 20-05-06 à 19:09

ok, alors voilà ce que j'obtiens :

f(x^{\frac{1}{2}})=f(\sqrt(x))=f(x)

Donc 3$f(x^{\frac{1}{2^{(n+1)}}})=f(x^{{\frac{1}{2^n}}\times{\frac{1}{2}})=f(\sqrt{x^{\frac{1}{2^n}}})=f(x^{\frac{1}{2^n}})=f(x)

f(u_n)=f(x).

Pour 0<x, \lim_{n\to +\infty} u_n=1. Et f continue sur R+
Donc f(x)=\lim_{n\to +\infty} f(u_n)=f(1)

Donc f(x)=f(1) est constante sur R+.

C'est bien ca ?

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction et suite 20-05-06 à 19:12

Avec ce que tu viens d'écrire, tu as montré que f est constante sur \Large{\mathbb{R}_{+}^{*}}.
Reste à montrer que f(0) est aussi égal à cette constante, mais ça ce n'est pas très difficile.

Posté par rust (invité)re : fonction et suite 20-05-06 à 19:19

en fait là j'ai un souci, je dois montrer que c'est vrai sur R+, mais j'ai fait l'etude de u_n avec 3$a\in R_+^*

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction et suite 20-05-06 à 19:21

Oui, mais c'est pas grave !
f est constante sur \Large{\mathbb{R}_{+}^{*}}. Notons b cette constante.
Ensuite, il suffit d'utiliser la continuité de f en 0 pour conclure.

Posté par rust (invité)re : fonction et suite 20-05-06 à 19:23

donc il sufit que je dise :

f est continue en 0, donc f(0)=\lim_{x\to 0} f(x)=f(1) ?

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction et suite 20-05-06 à 19:24

Oui, en précisant qu'on fait tendre x vers 0 avec x>0.

Posté par rust (invité)re : fonction et suite 20-05-06 à 19:25

ok, merci beaucoup.

Je reviendrais peut-etre si j'ai des problèmes pour la fin de l'exercice.
Encore merci

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction et suite 20-05-06 à 19:27

Mais je t'en prie !


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