Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

fonction exp sujet 1 exercice 2

Posté par
Nelcar
27-03-21 à 17:32

Bonjour
voici l'exercice 2 du sujet 1
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + [ par :
f(x)=ex/x
On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé
1 a) Préciser la limite de la fonction f en +
b) justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à la coube Cf
2) Montrer que, pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0 ; + [ on a :
f ' (x)= (ex(x-1))/x²
où f ' désigne la fonction dérivée de la fonction f
3) déterminer les variations de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; + [
on établira un tableau de variation de la fonction f dans lequel apparaîtront les limites
4) Soit m un nombre réel. Préciser, en fonction des valeurs du nombre réel m, le nombre de solution de l'équation f(x)=m
5) on note la droite d'équation y= -x
On note A un éventuel point de Cf d'abscisse a en lequel la tangente à la courbe Cf est parallèle à la droite
a) Montrer que a est solution de l'équation ex(x-1)+x²=0
on note g la fonction définie sur ]0 ; + [ par g(x)= ex(x-1)+x²
on admet que la fonction g est dérivale et on note g' sa fonction dérivée
b) Calculer g'(x) pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0 ; + [, puis dresser le tableau de variations de g sur ]0 ; + [
c) Montrer qu'il existe un unique point A en lequel la tangente à Cf est parallèle à la droite

Je galère beaucoup pour cet exercice (j'ai toujours eu du mal avec les fonctions). Voici ce que j'ai fait :
1) lim ex = +         lim f(x) = +
     x+              x+
    
b) lorque la lim tend vers + on a donc une asymptote verticale (la courbe tend vers 0)
2) je calcule la dérivée de f(x)
forme u/v  donc (u'v-uv')/v²     u(x)=ex  u'(x)=ex  v(x)=x    v'(x)=1
f'(x)=( xex-ex)/x²=((x-1)ex)/x²
x-1=0  x=1
x=1 f ' (x)=0
3) tableau de variation

x        0                  1                   +
f '(x)          -           0        +
f(x)   flèche descendante     flèche montante
4) je ne sais pas ce que je dois faire (je ne comprend pas)
5) a) je ne sais pas j'ai trouvé x=0 ?
6) je calcule g'(x)
g(x)=u*v+x²
je calcule la dérivée de la première partie ce qui me donne (x-1)ex +ex= (x-1+1)ex= xex et je rajoute la dérivée de x² soit 2x
donc
g'(x) = xex+2x
tableau de variation
x    0                           1                       +
g'(x)              +                      +
g(x)   flèche montante
c) je ne sais pas faire

cet exercice m'a complétement démoralisé. Je n'ai pas compris grand chose

MERCI pour vos explications

Posté par
hekla
re : fonction exp sujet 1 exercice 2 27-03-21 à 18:06

Bien on reprend

 \displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty

Résultat du cours que l'on trouve dans les croissances comparées

b)  \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=+\infty le numérateur vaut 1 et le dénominateur tend vers 0 donc le quotient tend vers l'infini
Positif car les termes sont positifs

La fonction n'est pas définie en 0 et elle tend vers l'infini quand x tend vers 0 par conséquent x=0 est asymptote à la courbe. x=0 est l'axe des ordonnées.

2  dérivée de f ou détermination de f'(x)  f(x)\in \R
3)  correct
4)  Vous avez montré  à l'aide du tableau que f admet un minimum en 1  qui vaut \text{e}

si m<\text{e}  pas de solutions

si m=\text{e} une solution x=1

si m>\text{e}  deux solutions  une comprise entre 0 et 1 l'autre entre 1 et + infty

Conséquences sur chaque intervalle du théorème des valeurs intermédiaires

à suivre

Posté par
hekla
re : fonction exp sujet 1 exercice 2 27-03-21 à 18:23

5)  Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur

Pour la tangente,  le coefficient directeur est f'(x)  et pour la droite donnée -1 .
Il en résulte que les deux droites sont parallèles en A ssi f'(x)=-1 soit \dfrac{\text{e}^{x}(1-x)}{x^2}=-1

En multipliant les deux membres par x^2 non  nul et en rapatriant dans le premier membre on a \text{e}^{x}(x-1)+x^2=0

a est solution de cette équation

g(x)=\text{e}^{x}(x-1)+x^2

 g'(x)= \text{e}^{x}(x-1+1)+2x)=x\text{e}^{x}+2x

dérivée strictement positive comme somme de termes strictement positifs
La fonction  g est strictement croissante
Remarque  les études de fonctions  (il y en a eu deux) ont été traitées correctement. C'est bien.

c) C'est encore l'occasion de sortir le TVI  

fonction dérivable strictement croissante  0 appartient à un intervalle bien choisi  Il existe un réel a tel que g(a)=0

Posté par
Nelcar
re : fonction exp sujet 1 exercice 2 27-03-21 à 19:51

En regardant sur le site j'ai trouvé

pour la question 1 b) lorque la lim tend vers + on a donc une asymptote verticale (la courbe tend vers 0) : c'est bien une verticale ?
je ne vois pas comment tu fais pour marquer ce que tu m'as mis voilà pourquoi je galère

question 4) je n'aurai pas su faire

pour le 5) je n'aurai jamais pensé de prendre -1

vous notez :Remarque  les études de fonctions  (il y en a eu deux) ont été traitées correctement. C'est bien.
c'est pour le tableau de variation de g c'est ça ?

c) je ne comprends pas

MERCI

Posté par
hekla
re : fonction exp sujet 1 exercice 2 27-03-21 à 20:35

La remarque concernait les deux fonctions à étudier :  dérivées correctes signes et tableaux itou

Question 1 b   C'est une autre manière de demander la limite en 0

Pour avoir une asymptote « verticale »  (je n'aime pas ce terme) je préfère parallèle à l'axe des ordonnées
Il faut 1) non  définie pour une valeur de x  ici 0

2) quand x tend vers cette valeur  la limite soit infinie

ce qui est le cas donc l'axe des ordonnées est bien asymptote à la courbe représentative de f

Question 4 cela a pu être fait en seconde en demandant le nombre de solutions d'une équation du second degré sinon difficile à inventer seule

c vous avez montré lors de la question 4 qu'il existait une unique  valeur appartenant à ]0~;~1[ pour laquelle f(x)=m en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

donc là aussi on le sort

on a bien une fonction continue sur [a~;~b] strictement croissante sur ] a~;~b[

 0\in[g(a)~;~g(b)] par conséquent il existe une unique valeur a telle que g(a)=0

et si l'on veut, on peut en donner une valeur approchée  \approx 0,7fonction exp sujet 1 exercice 2

Pouvez-vous expliciter la cause des galères ?

Posté par
Nelcar
re : fonction exp sujet 1 exercice 2 28-03-21 à 10:11

Bonjour
Hekla : la cause de mes galères, c'est que je ne vois jamais quoi faire, après je me dis ah oui il fallait faire ça. Mais.....
pour le c) le croquis que tu mets c'est quoi car je n'ai pas ça sur mes courbes que j'ai faites.
et comment as-tu fait pour avoir environ 0,7

MERCI

Posté par
hekla
re : fonction exp sujet 1 exercice 2 28-03-21 à 10:35

Bonjour Nelcar

Je n'ai gardé que la partie intéressante de la courbe représentative de g,   c'est-à-dire entre 0 et 1

ce qui permet de prendre pour unité sur l'axe des abscisses 10 carreaux donc 0,1 pour un carreau, on en compte 7 et un peu plus  donc  on a environ 0,7

Posté par
Nelcar
re : fonction exp sujet 1 exercice 2 28-03-21 à 14:46

ok j'ai compris

Merci beaucoup

Posté par
hekla
re : fonction exp sujet 1 exercice 2 28-03-21 à 15:08

Remarque  il n'était pas demandé une valeur approchée de a

Posté par
Nelcar
re : fonction exp sujet 1 exercice 2 28-03-21 à 15:49

OK

Merci beaucoup



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1478 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !