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fonction exp sujet 1 exercice 2
Bonjour
voici l'exercice 2 du sujet 1
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + 
[ par :
f(x)=ex/x
On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé
1 a) Préciser la limite de la fonction f en +
b) justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à la coube Cf
2) Montrer que, pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0 ; + [ on a :
f ' (x)= (ex(x-1))/x²
où f ' désigne la fonction dérivée de la fonction f
3) déterminer les variations de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; + [
on établira un tableau de variation de la fonction f dans lequel apparaîtront les limites
4) Soit m un nombre réel. Préciser, en fonction des valeurs du nombre réel m, le nombre de solution de l'équation f(x)=m
5) on note 
la droite d'équation y= -x
On note A un éventuel point de Cf d'abscisse a en lequel la tangente à la courbe Cf est parallèle à la droite
a) Montrer que a est solution de l'équation ex(x-1)+x²=0
on note g la fonction définie sur ]0 ; + [ par g(x)= ex(x-1)+x²
on admet que la fonction g est dérivale et on note g' sa fonction dérivée
b) Calculer g'(x) pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0 ; + [, puis dresser le tableau de variations de g sur ]0 ; + [
c) Montrer qu'il existe un unique point A en lequel la tangente à Cf est parallèle à la droite
Je galère beaucoup pour cet exercice (j'ai toujours eu du mal avec les fonctions). Voici ce que j'ai fait :
1) lim ex = + lim f(x) = +
x
+ x+
b) lorque la lim tend vers + on a donc une asymptote verticale (la courbe tend vers 0)
2) je calcule la dérivée de f(x)
forme u/v donc (u'v-uv')/v² u(x)=ex u'(x)=ex v(x)=x v'(x)=1
f'(x)=( xex-ex)/x²=((x-1)ex)/x²
x-1=0 x=1
x=1 f ' (x)=0
3) tableau de variation
x 0 1 +
f '(x) - 0 +
f(x) flèche descendante flèche montante
4) je ne sais pas ce que je dois faire (je ne comprend pas)
5) a) je ne sais pas j'ai trouvé x=0 ?
6) je calcule g'(x)
g(x)=u*v+x²
je calcule la dérivée de la première partie ce qui me donne (x-1)ex +ex= (x-1+1)ex= xex et je rajoute la dérivée de x² soit 2x
donc
g'(x) = xex+2x
tableau de variation
x 0 1 +
g'(x) + +
g(x) flèche montante
c) je ne sais pas faire
cet exercice m'a complétement démoralisé. Je n'ai pas compris grand chose
MERCI pour vos explications
Bien on reprend
Résultat du cours que l'on trouve dans les croissances comparées
b) le numérateur vaut 1 et le dénominateur tend vers 0 donc le quotient tend vers l'infini
Positif car les termes sont positifs
La fonction n'est pas définie en 0 et elle tend vers l'infini quand x tend vers 0 par conséquent x=0 est asymptote à la courbe. est l'axe des ordonnées.
2 dérivée de ou détermination de
3) correct
4) Vous avez montré à l'aide du tableau que f admet un minimum en 1 qui vaut
si pas de solutions
si une solution
si deux solutions une comprise entre 0 et 1 l'autre entre 1 et
Conséquences sur chaque intervalle du théorème des valeurs intermédiaires
à suivre
5) Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur
Pour la tangente, le coefficient directeur est et pour la droite donnée
.
Il en résulte que les deux droites sont parallèles en A ssi soit
En multipliant les deux membres par non nul et en rapatriant dans le premier membre on a
est solution de cette équation
dérivée strictement positive comme somme de termes strictement positifs
La fonction est strictement croissante
Remarque les études de fonctions (il y en a eu deux) ont été traitées correctement. C'est bien.
c) C'est encore l'occasion de sortir le TVI
fonction dérivable strictement croissante 0 appartient à un intervalle bien choisi Il existe un réel tel que
En regardant sur le site j'ai trouvé
pour la question 1 b) lorque la lim tend vers + on a donc une asymptote verticale (la courbe tend vers 0) : c'est bien une verticale ?
je ne vois pas comment tu fais pour marquer ce que tu m'as mis voilà pourquoi je galère
question 4) je n'aurai pas su faire
pour le 5) je n'aurai jamais pensé de prendre -1
vous notez :Remarque les études de fonctions (il y en a eu deux) ont été traitées correctement. C'est bien.
c'est pour le tableau de variation de g c'est ça ?
c) je ne comprends pas
MERCI
La remarque concernait les deux fonctions à étudier : dérivées correctes signes et tableaux itou
Question 1 b C'est une autre manière de demander la limite en 0
Pour avoir une asymptote « verticale » (je n'aime pas ce terme) je préfère parallèle à l'axe des ordonnées
Il faut 1) non définie pour une valeur de ici 0
2) quand tend vers cette valeur la limite soit infinie
ce qui est le cas donc l'axe des ordonnées est bien asymptote à la courbe représentative de
Question 4 cela a pu être fait en seconde en demandant le nombre de solutions d'une équation du second degré sinon difficile à inventer seule
c vous avez montré lors de la question 4 qu'il existait une unique valeur appartenant à ]0~;~1[ pour laquelle en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
donc là aussi on le sort
on a bien une fonction continue sur strictement croissante sur
par conséquent il existe une unique valeur
telle que
et si l'on veut, on peut en donner une valeur approchée 
Pouvez-vous expliciter la cause des galères ?
Bonjour
Hekla : la cause de mes galères, c'est que je ne vois jamais quoi faire, après je me dis ah oui il fallait faire ça. Mais.....
pour le c) le croquis que tu mets c'est quoi car je n'ai pas ça sur mes courbes que j'ai faites.
et comment as-tu fait pour avoir environ 0,7
MERCI
Bonjour Nelcar
Je n'ai gardé que la partie intéressante de la courbe représentative de g, c'est-à-dire entre 0 et 1
ce qui permet de prendre pour unité sur l'axe des abscisses 10 carreaux donc 0,1 pour un carreau, on en compte 7 et un peu plus donc on a environ 0,7
Bonjour,
Cette exercice s'appartient a quel bac et est-ce que vous avez réussi de la résoudre?
Merci
Bonjour
Vous le trouverez ici
Bac général Épreuve de Spécialité 1-Mars 2021 et son corrigé
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