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Niveau terminale
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fonction exponentielle

Posté par
moussolony 13-02-20 à 01:44

Bonjour

Le plan est muni d un repéré orthonormé (o,i,j) ,unité graphique : 2cm.
On considéré la fonction f de R dans R définie par: f(x)=xe^{\frac{1}{x+1}}
Si x différent de -1
f(-1)=0
C désigné la courbe représentative de f dans le repéré (0 ,i,j)
Partie A
On donne la fonction g de R vers R définie par: g(x)=1-\frac{x}{x+1}e^{\frac{1}{x+1}}
1/ calculer les limites de g en + infini et - infini

2/ étudier le sens de variation de g
3. Trouver le signe de g(x) suivant les valeurs de x
Partie B
1/ calculer les limites de f en + infini et en - infini
2. / a/ étudier la continuité de f en -1
b/ étudier la dérivabilité de f a gauche en -1
3/a/ étudier le sens de variation
de f en -1
b/ dresser le tableau de variation de f.
4/a/ vérifier que la droite (T): y=ex  , est tangente a c au point O.
b/ étudier la position de (c) par rapport a (T)
5a/ démontrer que la droite (D): y=x+1  , est asymptote a (c) en + infini et en - infini
b/ étudier la position relative de c et D .(on pourra utiliser la partie a)
6/ construire (c) avec soin.

Réponse
Question 1
En + infini
Lim g(x)=lim 1-(x)/(x+1)*e^{1/x+1)
Lim g(x)=0

En - infini
Lim g(x)=0
Question 2

g'(x)=é^{\frac{1}{x+1}}-\frac{x}{(x+1)^3}
Comme e^(1/x+1)>0 ,
J aimerais savoir si le signe de g'(x) dépend du signe x/(x+1)^3

Posté par
Zormuchere : fonction exponentielle 13-02-20 à 01:51

Bonsoir
ton g' est faux

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 13-02-20 à 01:57

Pourquoi c est faux

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 13-02-20 à 02:02

g'(x)=-e^{\frac{1}{x+1}}+\frac{x}{(x+1)^3}

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 13-02-20 à 02:03

C est correcte maintenant

Posté par
heklare : fonction exponentielle 13-02-20 à 08:46

Bonjour

Non

g(x)=1-\dfrac{x}{x+1}\text{e}^{\frac{1}{x+1}}

u(x)=\dfrac{x}{x+1} \qquad u'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}

v(x)=\text{e}^{\frac{1}{x+1}}\ ;\ v'(x)=-\dfrac{1}{(x+1)^2}\text{e}^{\frac{1}{(x+1]}


g'(x)=-\left(\dfrac{1}{(1+x)^2}\text{e}^{\frac{1}{x+1}}\left(1-\dfrac{x}{x+1}\right)\right)

à simplifier la dernière parenthèse d'abord

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 18-02-20 à 11:48

Question 2
Pour tout nombre reel x,
e^(1/x+1)>0 et (1+x)^2>0
-(e^(1/x+1)/(1+x^2)<0
Étudions le signe (-2x)/(x+1)
Pour x appartement]- infini,-1[ U]0,+infini[, (-2x)/(x+1)<0
Pour x appartement ]-1,0[, (-2x)/(x+1)>0
Sens de variation
Pour x appartenant ]- infini,-1[ U]0,+infini[ ,g'(x)<0, donc g est strictement décroissant
Pour x appartenant a ]-1,0[ , donc g est strictement croissant

Posté par
heklare : fonction exponentielle 18-02-20 à 12:08

g'(x)=-\dfrac{\text{e}^{\frac{1}{1+x}} }{(x+1)^3}

g'(x) est donc du signe de -(1+x)

D'où vient 2x/(x+1)

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 18-02-20 à 12:09

Est ce que c exact

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 18-02-20 à 12:14

Pourquoi g '(x) est du signe -(1+x)

Posté par
heklare : fonction exponentielle 18-02-20 à 12:41

g'(x)=-\dfrac{1}{x+1}\left(\dfrac{\text{e}^{\frac{1}{x+1}}}{(x+1)^2}\right)

La grande parenthèse est strictement positive  il ne reste donc que -(x+1) dont le signe dépend des valeurs de x

Je ne peux répondre car je ne sais d'où sort 2x/(x+1)

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 18-02-20 à 12:44

Question 2
Pour x appartenant]- infini,-1[, g'(x)>0, donc g est strictement croissant
Pour x appartenant]-1,+infini[ ,donc g est strictement décroissant.

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 18-02-20 à 12:46

En concernant 2x/x+1
C est une faute de frappe

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 18-02-20 à 12:55

Question 3
J ai fait le tableau de variation.mais
je n arrive pas calculer g(-1) parce que au trouve zéro au dénominateur

Posté par
heklare : fonction exponentielle 18-02-20 à 13:20

normal non définie  en -1 donc double barre dans le tableau

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 18-02-20 à 13:27

Si je comprends très ,je dois calculer la limite a gauche et a droite de -1

Posté par
heklare : fonction exponentielle 18-02-20 à 13:30

Non pas obligatoirement on vous l'aurait demandé explicitement  ce qui importe est le signe de g

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 18-02-20 à 13:38

OK
Voici ma proposition
Comme  g est strictement croissant sur ]-infini,-1[
Pour x appartenant]- infini,-1[ , g(x)>0
De même
Pour x appartenant]-1, + infini[
g(x)<0

Posté par
heklare : fonction exponentielle 18-02-20 à 14:21

g est croissante sur ]-\infty~;~-1[  lim en -\infty 0 donc g positive

g est décroissante sur ]-1~;~+\infty [ lim en +\infty 0 donc g positive

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 18-02-20 à 14:37

Partie B
Question 1
En + infini
Lim x=+ infini et lim e(1/x+1)=1
Lim f(x)= + infini
En - infini
Lim x =-infini et lim e(1/x+1)=1

Question 2
Calculons la limite en -1
Lim x=-1
Je n arrive pas a calculer la limite de
e(1/x+1) car je trouve zéro au dénominateur

Posté par
heklare : fonction exponentielle 18-02-20 à 15:07

Illustration  de \mathcal{C}_g
fonction exponentielle
et en vert  celle de f

Il faut conclure  +\infty en +\infty et -\infty en -\infty


Vous avez déjà vu ce genre de situation en seconde  comportement de la fonction inverse en 0

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 18-02-20 à 23:48

Bonsoir
Non, je n ai jamais vu ce genre de situation. Comment vous avez trouvé ces limites sans le calcul

Posté par
heklare : fonction exponentielle 19-02-20 à 08:22

Quelles limites ?

\displaystyle  \lim_{x\to 0+}\dfrac{1}{x}=+\infty

Dans le cours vous devez avoir si f tend vers \ell et g tend vers 0 alors \frac{f}{g} tend vers \pm\infty selon la règle des signes

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 19-02-20 à 17:47

Ok, si je comprends très bien
g(x) et f(x) sont inverse

Posté par
heklare : fonction exponentielle 19-02-20 à 18:16

Pourquoi dites-vous cela ?

J'ai parlé de la fonction inverse pour que vous vous souveniez de la courbe de x\mapsto\dfrac{1}{x}

en ne considérant que les positifs  tend vers +\infty quand x tend vers 0 et vers 0 quand x tend vers +\infty On ne parlait pas de limite

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 19-02-20 à 18:36

Ok
Question 1a
Cette question est terminée alors
Question 2a
Calculons la limite en 1
Lim f(x)=lim xe^(1/x+1)
Posons X=1/x+1
f(x)=(1/X-1)e^x
Lorsque x gens vers -1 , X tends vers - infini
La limite en - infini
Lim (1/X-1)e^X=0

En définitive
La limite de f en -1
Lim f(x)=0
C est bon

Posté par
heklare : fonction exponentielle 19-02-20 à 19:26

il faut distinguer à droite et à gauche

\displaystyle \lim_{\substack{x\to -1\\x>-1}}\dfrac{1}{x+1}=+\infty

donc à droite -\infty et à gauche 0

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 20-02-20 à 01:49

Bonjour
Question 2a
La limite à droite est différent de la limite a gauche .donc f n est pas continue en -1

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 20-02-20 à 01:56

Question 2b
\frac{f(x)-f(-1)}{(x+1)}=\frac{xe^{\frac{1}{x+1}}}{x+1}
La limite a gauche de 1, j
Le numérateur tends vers 0 et le denominateur ,je trouve zero au dénominateur

Posté par
heklare : fonction exponentielle 20-02-20 à 08:39

X=\dfrac{1}{x+1}

\dfrac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\dfrac{x\text{e}^{\frac{1}{x+1}}}{x+1}=x\dfrac{\text{e}^{\frac{1}{x+1}}}{x+1}=\left(\dfrac{1}{X}-1\right)\dfrac{\text{e}^X}{X}

\displaystyle \lim_{\substack {x\to-1\\x<-1}} X=-\infty\qquad \lim_{X\to -\infty} \dfrac{\text{e}^X}{X}=0 \qquad \lim_{X\to-\infty}\dfrac{1}{X}-1=-1

D'où la conclusion

Posté par
heklare : fonction exponentielle 20-02-20 à 08:46

Citation :
/a/ étudier le sens de variation de f en -1


Il n'y a pas de variation en un point  mais sur un intervalle.

Revoir le texte.

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 20-02-20 à 09:08

Question 2b
Comme la limite tend vers + infini
Donc f n est pas dérivable en -1

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 20-02-20 à 09:10

C est plutôt
3a/ étudier le sens de variation de f

Posté par
alb12re : fonction exponentielle 20-02-20 à 09:15

salut, presque le meme exercice ici fonction exponentielle

Posté par
heklare : fonction exponentielle 20-02-20 à 09:30

Limite finie   0 \times  -1=0 donc dérivable à gauche en -1

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 20-02-20 à 11:36

Question 3a
f'(x)=e^{\frac{1}{x+1}}-x(\frac{e^{\frac{1}{x+1}}}{(x+1)^2}
Le signe de f'(x) est donc du signe de -x
Pour x appartenant]- infini,0[, f'(x)>0, donc f est strictement croissant
Pour x appartenant ] 0,+ infini[, f'(x)<0, donc f est strictement décroissant

Posté par
heklare : fonction exponentielle 20-02-20 à 12:09

On connaît le signe d'un produit pas celui d'une somme

f'(x)=\text{e}^{\frac{1}{x+1}}-\dfrac{x}{(x+1)^2}\text{e}^{\frac{1}{x+1}}

f'(x)=\text{e}^{\frac{1}{x+1}}\left(1-\dfrac{x}{(x+1)^2}\right)

f'(x)=\dfrac{\text{e}^{\frac{1}{x+1}}}{(x+1)^2}\left((x+1)^2-x\right)

pour tout x\in\R\setminus\{-1\},\  f'(x)>0

Ne pas oublier x\not=-1


Remarque : vous aviez le dessin de la courbe  18/02/2020 15:07

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 20-02-20 à 12:36

Ok,mais
e^(1/x+1)/(x+1)^2 >0,et (x+1)^2>0
Pourquoi le signe f'(x) n est pas celui de x

Posté par
heklare : fonction exponentielle 20-02-20 à 12:55

f'(x)=\dfrac{\text{e}^{\frac{1}{x+1}}}{(x+1)^2}\left((x+1)^2-x\right)=\dfrac{\text{e}^{\frac{1}{x+1}}}{(x+1)^2}\left(x^2+x+1\right)

il n'y a que des termes strictement positifs

x n'est pas en facteur dans f'(x)

Posté par
alb12re : fonction exponentielle 20-02-20 à 18:27

Pour celles et ceux qui se perdraient dans tous ces calculs,
petite session Xcas projetable en classe lors du corrige/td

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 23-02-20 à 19:00

Question 4a/
f(x)-ex=xe^{1/x+1)-ex
f(x)-ex=x(e^(1/x+1)-e)
Je suis bloqué

Posté par
heklare : fonction exponentielle 23-02-20 à 19:42

Que voulez-vous faire ?  le signe de ceci

signe d'un produit

\text{e}^{\frac{1}{x+1}}-\text{e} >0 \iff  \text{e}^{\frac{1}{x+1}}>\text{e}^1  

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 23-02-20 à 22:21

Bonsoir
On a
e^(1/x+1)-e^x>0
Donc
f(x)-ex>0
f(x)>ex
D où la courbe est au dessus de la droite

Posté par
alb12re : fonction exponentielle 23-02-20 à 22:29

il faut resoudre par le calcul cette inequation voir 19h42

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 23-02-20 à 22:33

On aura donc
1/x+1>1
x>0

Posté par
alb12re : fonction exponentielle 23-02-20 à 22:38

non tout dans un membre et signe du quotient

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 24-02-20 à 00:11

On aura donc
-x/x+1>0
Pour x appartenant]-infini,-1[U]0,+ infini[, -x/x+1>0
Pour x appartenant] -1,0[ ,-x/x+1<0

Posté par
heklare : fonction exponentielle 24-02-20 à 08:35

Non

un trinôme est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines donc

si x\in]-1~;~0[, \quad \dfrac{-x}{x+1}>0 et strictement négatif ailleurs

Ce n'est qu'une partie du produit dont vous cherchez le signe

Posté par
moussolonyre : fonction exponentielle 24-02-20 à 16:09

Voici ma proposition
Pour x appartenant]- infini,-1[ , la courbe est au dessus de la tangente
Pour x appartenant]-1,0[U]0,+ infini[, la courbe est en dessous de la tangente

Posté par
alb12re : fonction exponentielle 24-02-20 à 16:14

c'est juste

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