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Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 13:36

mais comment je le prouve

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 13:40

Il faudrait montrer qu'il existe un x tel que  f_k(x)=f_{k'}(x)

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 13:43

je crois que je comprend pas bien ce que c'est les courbes Ca C2 etCb

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 13:48

La courbe \mathcal{C}_a est la courbe représentative de f_k  lorsque k=a.

Il est bien entendu que pour la tracer on a donné une valeur explicite à a.

On en a fait autant pour une autre valeur de k que l'on a appelée b et enfin une troisième en considérant k=2.

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 13:50

donc il faut trouver al valeur de k pour laquelle fk(x) est égale à 0, mais comme Malou a dit, comment puis-je trouver les autres points d'intersection ?

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 13:52

hekla, je me permets

en 1re, il y a une démarche facile pour ce genre de questions
tu prends f1 et f2
tu cherches si les 2 courbes admettent des points d'intersection
et ensuite tu vérifies que ce que tu trouves appartient bien à toutes les courbes en remplaçant dans fk

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 13:53

Il n'y a qu'un point commun.

Ce ne sont pas des valeurs de k que l'on cherche puisque cela doit être pour n'importe quel k.

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 13:55

Sans problème malou  

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 13:55

valeur de x alors ?
c'est parce que dans l'enoncer il y a ecrit qu'elles passent par un meme point

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 13:58

Les coordonnées d'un point sont (x~;~y).

Ce sont donc bien les valeurs de x que l'on cherche pour avoir l'égalité des  y.

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 14:02

malou @ 16-03-2022 à 13:52

hekla, je me permets

en 1re, il y a une démarche facile pour ce genre de questions
tu prends f1 et f2
tu cherches si les 2 courbes admettent des points d'intersection
et ensuite tu vérifies que ce que tu trouves appartient bien à toutes les courbes en remplaçant dans fk

oui elles admettent un point d'intersection
par contre que voulez vous dire dans remplacer dans fk?

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 14:05

tu as fait ta démonstration pour f1 et f2 ?
oui ?

si oui, le seul point d'intersection entre ces deux courbes là, est donc le seul candidat à appartenir à toutes les courbes, mais tu dois le vérifier
donc pour cela tu dois alors démontrer que

pour tout k > 0, fk(0)=0

OK ? tu comprends le raisonnement ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 14:09

je l'ai vu graphiquement avec ma calculatrice
oui je comprend mais j'ai peur de ne pas savoir le faire de moi-même

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 14:10

donc que ke^-kx=0

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 14:13

c'est une méthode ultra classique pour montrer qu'une infinité de courbes passent toutes par un même point (ou plusieurs)

tu choisis 2 courbes d'équations les plus simples possibles

tu prends C1 : f_1(x)=x\;\text e^{-x}
tu prends C2 : f_2(x)=2x\;\text e^{-2x}

1re étape : tu cherches l'intersection de C1 et de C2 (ou les intersections)

2e étape : tu vérifies que le ou les points trouvés sont sur toutes les Ck

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 14:16

pour l'etape une le commencement c'est xe^-x=2xe^-2x

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 14:19

oui, bien sûr
une petite équation à résoudre
tout dans un membre
factoriser, et terminer

allez, je quitte...je rends la main à hekla

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 14:20

j'ai encore du mal avec ça, est-ce qu'il faut utiliser le logarithme neperien ?

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 14:22

Pensez-vous avoir besoin d'un tel outil pour résoudre l'équation ?

Quelle est-elle ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 14:23

le titre de mon DM c'est fonction exponentielle et logarithme neperien, et je sais qu'avec les exponentielles on peut utiliser le logarithme pour les resoudre

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 14:32

Vous avez à résoudre

2x\text{e}^{-2x}=x\text{e}^{-x}

  allez -y

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 14:33

justement je bloque sur les résolution d'equation

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 14:40

 \text{e}^{-2x}=\left(\text{e}^{-x}\right)^2

vous pouvez alors factoriser

Au temps pour moi, vous aurez besoin du \ln

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 20:23

ah bah c'est bien ce que je me disais

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 20:36

Qu'est-ce que vous trouvez ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 17-03-22 à 10:32

pourquoi le (e^-x)² ? je n'ai pas bien compris l'étape que vous avez faite

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 17-03-22 à 10:38

Bonjour

C'était une indication pour la factorisation.

2x\text{e}^{-2x}-x\text{e}^{-x}=0

2x\left(\text{e}^{-x}\right)^2-x\text{e}^{-x}=0

On peut alors mettre  x\text{e}^{-x} en facteur.

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 17-03-22 à 10:40


ou alors \text{e}^{np}=\left(\text{e}^n\right)^p

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 17-03-22 à 13:32

Ah oui d'accord je ne savais pas

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 17-03-22 à 13:55

Avez-vous pu terminer la résolution de l'équation  ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 17-03-22 à 20:51

Bonsoir,
je suis en train de m'y remettre là

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 17-03-22 à 20:55

j'ai pas bien compris votre étape pour passer du message de 14:40 à celui de 10:38

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 17-03-22 à 21:08

Pour l'instant j'ai fais la dérivé
f'k(x)=k*e^(-kx)+kx*(-ke^(-kx)
=ke^(-kx)-k²xe^(-kx)
=k(1-kx)e^(-kx)

je me demandais c'est possible d'avoir deux facteurs ? car la j'ai à la fois e^(-kx) et k comme facteur ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 17-03-22 à 21:13

pour montrer que fk admet un maximum il faudrait que je calcule sa limite et que je verifie que fk(x)fk(a) ?

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 17-03-22 à 21:22

Vous avez écrit que f_2(x)=f_1(x) pour avoir les points communs aux deux courbes.

On a donc

2x\text{e}^{-2x}=x\text{e}^{-x}

en regroupant

2x\text{e}^{-2x}-x\text{e}^{-x}=0

propriété des puissances  \text{e}^{-2x}=\left(\text{e}^{-x}\right)^2

2x\left(\text{e}^{-x}\right)^2-x\text{e}^{-x}=0

on peut donc mettre x\text{e}^{-x} en facteur  puisque l'on a

2x\text{e}^{-x}\times\text{e}^{-x}-x\text{e}^{-x}=0

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 17-03-22 à 21:31

??  on peut avoir autant de facteurs que l'on veut.

Je n'aurais pas développé le k étant une constante

j'aurais dérivé  x^text{-kx}  et en le réintroduisant à la fin on aurait bien eu

 f'_k(x)=k(1-kx)\text{e}^{-kx}

Les extrema sont à rechercher parmi les points où la dérivée s'annule

Résolvez f'_k(x)=0

Si vous grimpez une montagne et que vous redescendez ensuite vous êtes bien passée par un sommet

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 17-03-22 à 21:34

j'aurais dérivé x\text{e}^{-kx}

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 17-03-22 à 21:55

mais je dois deriver kxe^(-kx)

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 17-03-22 à 21:58

O£donc xe^(-x)(2x-1)=0
j'ai l'impression qu'il manque un terme
parce que e^-x/xe^-x il reste x non ?

hekla @ 17-03-2022 à 21:22

Vous avez écrit que f_2(x)=f_1(x) pour avoir les points communs aux deux courbes.

On a donc

2x\text{e}^{-2x}=x\text{e}^{-x}

en regroupant

2x\text{e}^{-2x}-x\text{e}^{-x}=0

propriété des puissances  \text{e}^{-2x}=\left(\text{e}^{-x}\right)^2

2x\left(\text{e}^{-x}\right)^2-x\text{e}^{-x}=0

on peut donc mettre x\text{e}^{-x} en facteur  puisque l'on a

2x\text{e}^{-x}\times\text{e}^{-x}-x\text{e}^{-x}=0

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 17-03-22 à 22:13

On est bien d'accord qu'il faut dériver  f donc la fonction définie par

f(x)= kx\,\text{e}^{-kx}  mais si je considère que l'on a  f(x)= kg(x)  où g(x)=x\,\text{e}^{-kx}

on aura  f'(x)=kg'(x)  et par conséquent le même résultat
  Si cela vous gêne, laissez tomber.

Pour revenir à la question précédente, on récupère bien x\text{e}^{-x}(2\text{e}^{-x}-1)=0.

Ce n'est pas 2x que l'on a, c'est 2\,\text{e}^{-x}


2{\color{red}{x\text{e}^{-x}}}\times\text{e}^{-x}-1\times {\color{red}{x\text{e}^{-x}}}=0

le terme en rouge est mis en facteur

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 17-03-22 à 22:30

Ah oui mince j'ai mal vu je dois donc faire comment pour trouver le point d'intersection continuer avec ln ?

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 17-03-22 à 22:32


 \text{Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un au moins des facteurs le soit. }

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 17-03-22 à 22:34

Je continue ça demain pendant mes heures de perme à 10h
J'espère que vous sezrez dispo, de toute manière je vais essayer de faire ce dont je suis capable
Bonne soirée et à demain

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 17-03-22 à 22:45

Je ne pourrai pas avant midi.

Quelques indications pour la suite

Déterminez le signe de f'_k(x)

c) tracez les tangentes au sommet des deux courbes

d) écrire l'équation de la tangente  

lisez l'équation de T et comparez avec l'équation que vous avez trouvée



Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 17-03-22 à 22:56

Je vais cependant essayer d'être présent à 10 H

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 18-03-22 à 07:41

Sinon ce n'est pas grave, j'essaie à 10h et sinon je peux encore au alentour des 15h30

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 18-03-22 à 10:11

Je peux en déduire le maximum avec les variations de fk(x) donc le signe de f'k(x) ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 18-03-22 à 10:19

Sachant que e^-kx>0 et k>0 pour reel Strictement positif
Donc le signe est celui de 1-kx
Mais comment étudier un signe avec deux constantes ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 18-03-22 à 10:26

Que veut dire comparer à et 2 ? Comparer les courbes, les positions relatives ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 18-03-22 à 10:27

Ou bien comparer la valeur de a et 2

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