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Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 18-03-22 à 10:41

Bonjour
k est ce que l'on appelle un paramètre.  C'est un nombre réel comme un autre, vous pouvez lui donner la valeur que vous voulez (réel strictement positif).

ax+b>0  a>0  est équivalent à x>-\dfrac{b}{a}

comparer c'est dire lequel est le plus grand
je vous avais proposé de regarder les tangentes au sommet des courbes

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 18-03-22 à 15:37

On est d'accord que les tangentes sont presque les meme, elles arrivent à la même hauteur

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 18-03-22 à 15:39

Pas toutà fait  
les sommets sont pour quelles valeurs de x ?  

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 18-03-22 à 19:24

Vous avez abandonné alors ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 19-03-22 à 13:07

Non du tout j'ai commencé mon autre exercice
Je vais reprendre parce que je crois que je n'ai pas bien fait certaine chose

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 19-03-22 à 13:50

donc pour la partie A
j'ai etudié le signe de f'1(x) donc c'est positif sur ]-infini;1] et negatif sur [1;+infini[ j'en deduis les variations de f1(x)
etant donné que e^-x est toujours positif le signe est celui de x
f1(x) etant croissante sur ]-infini;1] on a donc
a<b =>f(a)>f(b) donc a<0 => f(a)<f1(0) or f1(0)=0
donc si x<0 alors f1(x)<0
(c'est ça il me semble, et je fais de même pour quand c'est decroissant juste en changeant < en > ?)
Pour la partie B
Nous avons pour la 1 2xe^-2x=xe^-x
2xe^-2x-xe^-x=0
2x(e^-x)²-xe^-x=0
puis je n'ai pas la factorisation et je n'ai pas repondu à la question

ensuite j'ai la derivée f'k(x)=k*e^(-kx )+kx*(-ke^(-kx))
=ke^(-kx)-k²xe^(-kx)
=k(1-kx)e^(-kx)

pour trouver le maximum je dois trouver quand la dérivée s'annule et change de signe c'est bien ça ?
donc le signe est celui de 1-kx et je dois donc trouver le maximum après ça
pour la c) je crois que j'ai du mal a mettre les tangentes, je pensais qu'il fallait dire que Ca est au dessus de C2 sur [0;0,2] puis après en dessous
et la il faut que je trouve une equation de tangente

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 19-03-22 à 13:59

je n'ai jamais etudier le signe avec deux parametres je crois
donc pour pour etudier (1-kx) je ne vois pas comment faire

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 19-03-22 à 14:21

Bonjour

Partie A

étude du sens de variation

dérivée   f_1(x)=x\text{e}^{-x} d'où f'_1(x)=(1-x)\text{e}^{-x}

le signe de la dérivée est le signe de 1-x

si x<1 \ f'(x) >0
si x=1 f'(x)=0
si x>1 \ f'(x) <0

On en déduit  le tableau de variation suivant :
Fonction exponentielle

On remarque que f_1)(0)=0

Vu le tvi ,0 est la seule valeur pour laquelle on a f_1(0)=0
La fonction étant strictement croissante sur \R_-^* on a donc
x<0\Rightarrow f_1(x)<0

Sur ]0~;~1[la fonction est strictement croissante donc 0<x<1 \Rightarrow 0<f_1(x)

Comme la fonction est strictement décroissante sur ]1~;~+\infty[  et que \lim_{x\to+\infty} f_1(x)=0

 x>1 \Rightarrow f_1(x)>0

En résumé si x\in ]-\infty~;~0[ f_1(x)<0\quad si x =0 \ f_1(x)=0 et si x>0 \ f_1(x)>0

Au lieu des phrases, on aurait pu faire un petit tableau avec en seconde ligne le signe.

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 19-03-22 à 14:36

ok donc j'ai tout bon pour la partie A
j'ai trouvé une autre façon de raisonner pour le 1 de la partie B
pour tout k>0 on a fk(0)=0 donc Ck passe par 0 et c'est donc ça le meme point où les courbes passent

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 19-03-22 à 14:39

j'ai pu trouve le signe de 1-kx
1-kx>0 x<1/k
1-kx<0 x>1/k
1-kx=0 x=1/k
donc on a le signe et là où s'annule la fonction
le maximum c'est donc fk(1/k) = k*1/k*e^(-k*1/k)=e^(-1)

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 19-03-22 à 14:43

j'ai trouvé l'équation de la tangente qui est y=kx
et pour comparer a et 2 et aussi trouver b j'ai trouvé une correction mais je ne la comprend pas à 100%
le sommet de Ca a environ pour abscisse 0,1=1/10
donc a est environ =10
comment on passe de 1/10 à 10 ?
et pour b on a donc la tangente T sur le graphique qui a pour coeff directeur 0,6/0,2=3 ça je le vois sur le graphique
et donc le coefficient directeur de la tangente à Cb au point O est b donc b=3
je comprend pas le lien entre ces deux coeff ?

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 19-03-22 à 14:43

Partie B

 f_k(x)=kx\text{e}^{-kx}

Pour montrer que les courbes passent par un même point, déterminons les points communs à deux courbes, par exemple C_1 et C_2.

C_1 est la représentation graphique de la fonction définie par f_1(x)=x\text{e}^{-x}

C_2 est la représentation graphique de la fonction définie par f_2(x)=2x\text{e}^{-2x}


Écrivons qu'aux points d'intersection les coordonnées sont les mêmes donc résolvons 2x\text{e}^{-2x}=x\text{e}^{-x}

2x\text{e}^{-2x}-x\text{e}^{-x}=0

propriété des puissances  \text{e}^{-2x}=\left(\text{e}^{-x}\right)^2

2x\left(\text{e}^{-x}\right)^2-x\text{e}^{-x}=0

on peut donc mettre x\text{e}^{-x} en facteur

x\text{e}^{-x}(2\text{e}^x}-1)=0

Pour qu'un produit de facteurs (à suivre)


 x\text{e}^{-x}=0 ou 2\text{e}^{-x}-1=0

x=0 ou x= \ln 2

A-t_on pour tout k\   f_k(x)=0 $ ou  $ f_k(\ln 2)=f_1(\ln(2)) à vérifier cela n'a pas été fait.

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 19-03-22 à 14:45

ah et question pratique, vous utilisez quel logiciel pour faire des tableau de signe et de variation sur ordi ?

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 19-03-22 à 14:59

14 :36 normal, j'ai repris ce que vous aviez fait.

Suite

dérivée f'_k(x)= k(1-kx)\text{e}^{-kx}

La dérivée a le signe de 1-kx

1-kx>0 \iff x<\dfrac{1}{k}

Les fonctions f_k admettent un maximum en \dfrac{1}{k}

puisque leur dérivée s'annule en changeant de signe

 f_k\left(\dfrac{1}{k}\right)=\dots

Ce maximum vaut ......

Remarque :[b] le site n'est pas un distributeur de réponses toutes faites...c'est écrit dans notre "mode d'emploi du forum" (4 premières lignes de cette page [lien]  ) et nous ne sommes pas là pour "saboter" le travail des profs qui donnent des exercices d'entraînement dont les jeunes ont besoin pour acquérir les connaissances. Les modérateurs se réservent le droit de supprimer sans préavis toute intervention qui serait contraire à cette politique.

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 19-03-22 à 15:10

14 43 l'inverse de 0,1 est 10

  f'_k(0)=k  et f_k(0)=0

équation de la tangente en  0 :

y=kx[/tex
 \\ 
 \\  On lit graphiquement que le coefficient directeur de la tangente en 0 à [tex] C_b  est 3.

On en déduit donc que k=3.

Vous avez montré que le coefficient directeur de la tangente en 0 aux courbes C_k est k .

Comme vous lisez que le coefficient directeur de la tangente à C_b est 3 on a en conséquence l'égalité.


J'utilise Latex et un logiciel qui s'appelle pstplus.

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 19-03-22 à 15:11

Mauvaises balises

y=kx

On lit graphiquement que le coefficient directeur de la tangente en 0 à  C_b  est 3.

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 19-03-22 à 15:18

remarque 14 :36

vous montrez bien que O appartient à toutes les courbes, mais est-ce le seul point ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 19-03-22 à 15:37

Ah oui je comprend mieux merci

hekla @ 19-03-2022 à 15:10

14 43 l'inverse de 0,1 est 10

  f'_k(0)=k  et f_k(0)=0

équation de la tangente en  0 :

y=kx[/tex
 \\ 
 \\  On lit graphiquement que le coefficient directeur de la tangente en 0 à [tex] C_b  est 3.

On en déduit donc que k=3.

Vous avez montré que le coefficient directeur de la tangente en 0 aux courbes C_k est k .

Comme vous lisez que le coefficient directeur de la tangente à C_b est 3 on a en conséquence l'égalité.


J'utilise Latex et un logiciel qui s'appelle pstplus.

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 19-03-22 à 15:38

hekla @ 19-03-2022 à 15:18

remarque 14 :36

vous montrez bien que O appartient à toutes les courbes, mais est-ce le seul point ?

etant donné qu'il y a ecrit les courbes passent par un même point et non plusieurs j'en deduis que oui c'est le seul ?

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 19-03-22 à 15:58

Citation :
le maximum c'est donc fk(1/k) = k*1/k*e^(-k*1/k)=e^(-1)


c'est donc une reprise du calcul qui avait été fait

Nonorigolo
Certes, mais ce n'est pas une raison suffisante.

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