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Fonction exponentielle
Bonjour voici le premier exercice sur l'exponentielle, j'ai finis la partie À mais je n'arrive pas à déduire le signe et les variations sans la calculatrice, je pense mettre trompée.
Pour la partie B je n'ai pas trop d'idée pour la plupart des questions. Voici le sujet
Maths dm
Exercice 1 :
Pour tout réel k strictement positif, on désigne par fk la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des
nombres réels R telle que
fk(x) = kxe^(-kx)
On note Ck sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal (O,I, J).
Partie A : Étude du cas k=1
On considère donc la fonction f1 définie sur R par
f1(x) = xe^(-x)
1. Étudier les variations de f1 sur R puis dresser son tableau de variation sur R.
2. Étudier le signe de f1(x) suivant les valeurs du nombre réel x.
Partie B: Propriétés graphiques
On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes C2 Ca Cb où a et b sont des réels strictement positifs fixés et T la tangente à Cb au point O origine du repère.
1. Montrer que pour tout réel k strictement positif, les courbes Ck, passent par un même point.
2.
a) Montrer que pour tout réel k strictement positif et tout réel x on a
f'(x)=k(1-kx)e^(-kx).
b) Justifier que, pour tout réel k strictement positif, fk admet un maximum et calculer ce maximum.
c) En observant le graphique ci-dessus, comparer a et 2. Expliquer la démarche.
d) Ecrire une équation de la tangente à Ck au point O origine du repère.
e) En déduire à l'aide du graphique une valeur approchée de b.
Merci d'avance pour votre aide
J'ai donc dérivéela fonction f1
qui me donne f1'(x)=e^-x +xe^-x
j'ai pas la suite etudier le signe puis deduis les variations de la fonction f1 avec
comme limite en + l'inifini=0 et limite en -l'inifinie=-l'infini
mais comme dit je n'arrive pas a étudier le signe sans la calculatrice pour cet exemple.
Pour la 2. je n'ai pas finit j'ai
xe^-x<0 <=>x<...
xe^-x>0 <=>x>...
xe^-x=0 <=>x=...
je sais graphiquement que c'est pour x>0 x<0 et x=0
dépend est un terme incorrect
dépend, ça peut être du même signe ou de signe contraire
donc tu dois dire que f'1(x) a le même signe que ...
allez, je quitte, je passe la main à hekla
mince je me suis trompé
1-x<0 <=>x>1
1-x>0 <=>x<1
1-x=0 <=>x=1
ça me semble juste là ?
croissant sur ]-infini;1] et decroissant sur [1;+infini[
avec lim f1(x) avec x->+inifni=0
limf1(x) avec x->-inifni=-infini
Vous avez dit à un moment que était toujours positif, donc que le signe de l'expression est celui du terme en facteur.
Vous pouvez en faire autant ici.
je refais une etude de signe donc avec la meme maniere qu'avant, je pensais qu'on pouvait en deduire d'après les variations
x>0
Bien sûr
après avoir déterminé la valeur pour laquelle on a
en utilisant la définition d'une fonction croissante
pour tout a, tout b,
Peu clair
on a montré que si est strictement négatif alors
est strictement négatif
Vous pouvez refaire sur la partie décroissante, vous pouvez le déduire aussi de la réponse précédente
Pour la PARTIE B comment je peux montrer qu'elles passent par un meme point pour tout réel strictement positif, graphiquement je vois qu'elles se coupent toutes en x=0, je pense qu'elles se coupent aussi plus tard
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