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Niveau terminale
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Fonction exponentielle

Posté par
Nonorigolo
15-03-22 à 09:38

Bonjour voici le premier exercice sur l'exponentielle, j'ai finis la partie À mais je n'arrive pas à déduire le signe et les variations sans la calculatrice, je pense mettre trompée.
Pour la partie B je n'ai pas trop d'idée pour la plupart des questions. Voici le sujet
Maths dm

Exercice 1 :
Pour tout réel k strictement positif, on désigne par fk la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des
nombres réels R telle que
fk(x) = kxe^(-kx)
On note Ck sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal (O,I, J).

Partie A : Étude du cas k=1
On considère donc la fonction f1 définie sur R par
f1(x) = xe^(-x)
1. Étudier les variations de f1 sur R puis dresser son tableau de variation sur R.
2. Étudier le signe de f1(x) suivant les valeurs du nombre réel x.

Partie B: Propriétés graphiques
On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes C2 Ca Cb où a et b sont des réels strictement positifs fixés et T la tangente à Cb au point O origine du repère.
1. Montrer que pour tout réel k strictement positif, les courbes Ck, passent par un même point.
2.
a) Montrer que pour tout réel k strictement positif et tout réel x on a
f'(x)=k(1-kx)e^(-kx).
b) Justifier que, pour tout réel k strictement positif, fk admet un maximum et calculer ce maximum.
c) En observant le graphique ci-dessus, comparer a et 2. Expliquer la démarche.
d) Ecrire une équation de la tangente à Ck au point O origine du repère.
e) En déduire à l'aide du graphique une valeur approchée de b.


Merci d'avance pour votre aide

Fonction exponentielle

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle 15-03-22 à 09:45

Bonjour
mets nous ce que tu as fait pour la partie A déjà, on va regarder

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 10:18

J'ai donc dérivéela fonction f1
qui me donne f1'(x)=e^-x +xe^-x
j'ai pas la suite etudier le signe puis deduis les variations de la fonction f1 avec
comme limite en + l'inifini=0 et limite en -l'inifinie=-l'infini
mais comme dit je n'arrive pas a étudier le signe sans la calculatrice pour cet exemple.
Pour la 2. je n'ai pas finit j'ai
xe^-x<0 <=>x<...
xe^-x>0 <=>x>...
xe^-x=0 <=>x=...

je sais graphiquement que c'est pour x>0   x<0 et x=0

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 10:22

rebonjour
ta dérivée n'est pas juste, tu dois la revoir

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 10:31

xe^-x est un produit donc u'v+uv'
1*e^-x+x*-e^-x
=e^-x+x*(-e^-x)
j'ai oublié un - avant

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 10:35

eh oui
allez, factorise ta dérivée et étudie son signe

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 10:43

e^-x(1-x) ?

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 10:54

oui, écris f'1(x)=e^-x(1-x)
allez, avance

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 10:54

Bonjour

En l'absence de malou

oui

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:00

e^-x >0 sur R le signe de f'1(x) depend de celui de (1-x)?

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:02

dépend est un terme incorrect
dépend, ça peut être du même signe ou de signe contraire
donc tu dois dire que f'1(x) a le même signe que ...

allez, je quitte, je passe la main à hekla

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:03

1-x<0 <=>x<1
1-x>0 <=>x>1
1-x=0 <=>x=1

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:04

ah oui d'accord je vois

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:05

mince je me suis trompé
1-x<0 <=>x>1
1-x>0 <=>x<1
1-x=0 <=>x=1

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:05

Nonorigolo @ 16-03-2022 à 11:03

1-x<0 <=>x<1
1-x>0 <=>x>1
1-x=0 <=>x=1


holla, c'est tout faux ça...

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:09

oui je me suis recorigée

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:12

Nonorigolo @ 16-03-2022 à 11:05

mince je me suis trompé
1-x<0 <=>x>1
1-x>0 <=>x<1
1-x=0 <=>x=1

ça me semble juste là ?

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:13

11 :05 oui
mais pourquoi les trois cas ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:13

pour connaitre le signe ? quand c'est positif quand c'est egal a 0 et negatif

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:17

Lorsque vous écrivez  1-x>0 \iff  x<1  vous montrez aussi que 1-x<0 \iff x>1

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:19

ma prof met toujours lignes par ligne
et je trouve ça mieux car j'ai tout sous les yeux

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:20

Faites comme vous voulez, c'est juste redondant.

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:21

oui je suis d'accord
on est donc bon pour le signe et les varations

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:22

Pour le signe oui pour les variations vous ne les avez pas encore exprimées

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:24

croissant sur ]-infini;1] et decroissant sur [1;+infini[
avec lim f1(x) avec x->+inifni=0
limf1(x) avec x->-inifni=-infini

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:25

et f1(1)=1/e

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:28

Oui

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:29

et donc pour l'étude de signe de f1(x)
je ne vois pas trop quoi faire

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:30

je vois bien qu'elle s'annule en 0

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:35

Résolvez  f_1(x)>0

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:36

Que se passe-t-il avant  0  et après 0 pour f_1(x)

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:43

croissance/decroissance

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:45

on peut en deduire le signe grave à la croissance ? je crois pas

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:47

grace*

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:48

On peut,  mais il est si simple de résoudre x\text{e}^{-x}>0

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:48

je pense qu'avec les variations et les limites on peut en deduire le signe de f1(x)

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:49

j'ai du mal à resoudre ce genre de chose, ça me vient pas de suite

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:50

Oui en utilisant les définitions de fonction croissante ou décroissante

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 11:53

Vous avez dit à un moment que \text{e}^{-x} était toujours positif, donc que le signe de l'expression est celui du terme en facteur.

Vous pouvez en faire autant ici.

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 12:57

je refais une etude de signe donc avec la meme maniere qu'avant, je pensais qu'on pouvait en deduire d'après les variations

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 13:00

sachant que e^-x est toujours positif alors xe^-x > 0 x>0
xe^-x < 0 x<0
xe^-x = 0 x=0 et x=1

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 13:02

pas x=1 désolé

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 13:05

Bien sûr
après avoir déterminé la valeur pour laquelle on a f_1(x)=0

en utilisant la définition d'une fonction croissante

pour tout a, tout b, a<b \Rightarrow f(a) <f(b)

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 13:09

D'accord

pour tout a  a<0 \Rightarrow f(a)< f(0)  or f(0)=0

donc si x<0  $ alors $ f(x)<0

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 13:12

donc la on a prouvé pour quand f1(x) est negative, on fait de même pour la partie decroissante ?

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 13:18

Peu clair

on a montré que si x est strictement négatif alors f_1(x)  est strictement négatif

Vous pouvez refaire sur la partie décroissante, vous pouvez le déduire aussi de la réponse précédente

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 13:21

oui je vois

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 13:28

Pour la PARTIE B comment je peux montrer qu'elles passent par un meme point pour tout réel strictement positif, graphiquement je vois qu'elles se coupent toutes en x=0, je pense qu'elles se coupent aussi plus tard

Posté par
hekla
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 13:33

Le point commun à toutes les courbes est l'origine du repère

f_k(0)=k\times 0\times \text{e}^{-k\times 0}=0

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle 16-03-22 à 13:36

Bonjour

si je puis me permettre, le fait d'écrire que fk(0)=0 ne montre en rien qu'il ne peut y en avoir qu'un ...
il y a celui-là, certes, mais peut-être d'autres...

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