Bonjour,

ce n'est peut-être pas un argument simple, mais on peut le démontrer assez facilement, à condition de connaître quelques propriétés classiques des fonctions gamma et digamma :

Salut JJa

Merci de ta

Salut JJa

Merci de ta réponse.

Effectivement, si on connaît deux trois propriétés sur ces fonctions, c'est relativement simple.

En fait, cette formule est égale à l'aire de la boule unité pour les normes p classiques sur R^n

On la trouve dans le petit guide de calcul différentielle différentiel de F. Rouvière.

Ce qui m'a étonné, c'est qu'après avoir trouvé cette formule, il dit : " ... qui est bien une fonction croissante de p>0"

Merci en tout cas.

Bonjour,

une petite remarque à cette occasion :
Il faut bien faire la distinction avec la question de l'aire de la boule de rayon unite considérée en fonction du nombre n de dimensions (boule unité dans R^n en fonction de n)
La fonction correspondante n'est pas uniformément croissante, mais passe par un maximum puis décroit, ce qui peut sembler étonnant à première vue (figure jointe, extraite de "Concise Encyclopedia of Mathematics", E.W.Weisstein).
Ceci est évoqué avec des formules du même genre, pour l'hypersphère, l'hypercône, la calotte hypersphérique etc., dans l'article accessible par ce lien :
http://www.scribd.com/people/documents/10794575-jjacquelin
(Dans la liste, sélectionner "Le problème de l'hyperchèvre")

Merci JJa

C'est toujours un plaisir de te lire ici comme sur le forum les-mathematiques.net !

A bientôt !

Je pense que j'aurai d'autres questions sur l'aire des boules en fonction de n plus tard.

Re JJa,

Aurais-tu un poly très détaillé sur les fonctions gamma et béta d'Euler ?

Merci

Bonjour,

désolé, je n'ai pas de document détaillé spécifique à aux fonctions spéciales Gamma et Beta.
On trouve pas mal de renseignements sur ces fonctions dans cet ouvrage :
J.Spanier, K.B.Oldham, "An Atlas of Functions", Hemisphere Pubishing Corporation, Springer-Verlag, 1987.
Les fonctions Gamma et Beta sont traitées au chapitre 43, pp.411-421. Les fonctions Digamma, Polygamma, Gamma incomplète, Beta incomplète sont traitées dans les  chapitres 44, 45 et 58.
Par ailleurs, il y a une liste plus étendue de références concernant les fonctions spéciales dans un article que l'on peut atteindre par ce lien :
http://www.scribd.com/people/documents/10794575-jjacquelin
puis, sélectionner "Safari au pays des fonctions spéciales", liste de références page 11 (dans la version mise à jour du 25/04/09).