Soient (X , d) , X' , d') des métriques et f est une application de X vers X' . On peut définir l'ensemble K(f) := { c + │ (x , y) X² , d'(f(x) , f(y)) c. d(x,y) } . Si K(f) est non vide on dit que f est lipschitzienne ( on peut rajouter "globalement " si on veut ) et on peut définir le réel m(f) : = Inf(K(f)) qui mesure en quelque sorte le degré de lipschitzienneté de f .
Si pour tout x de X il existe un voisinage V de x tel que la restriction de f à X est lipschitzienne on dit que f est localement lipschitzienne .
On complique :
On se donne un ensemble T , (X , d) , X' , d') des métriques et g : X x T X ' .
Si pour tout t de T g(. , t) est lipschitzienne on pourra dire que g est simplement lipschitzienne par rapport à sa variable de gauche .
Dans ce cas tous les m(g(. , t) ) sont des réels 0 .
Si M(g) := Sup{ m(g(. , t) │ t T } < + on dira que g est uniformément lipschitzienne par rapport à sa variable de gauche .
Si T est un topologique on dira que g est localement uniformément lipschitzienne par rapport à sa variable de gauche si ...