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fonction holomorphe et DSE

Posté par
letonio 15-05-07 à 12:10

Bonjour tout le monde,
Je bute sur un exo.

Soit f une fonction holomorphe sur le disque ouvert D(0,R). Soit n>=0 anzn son DSE.
Montrer que pour tout 0<r<R et pour tout n>=0

an=  1/(2\pi r^n).\int_0^{2\pi} f(re^{i\theta}) e^{-in\theta} d\theta


Voilà ce que j'ai fait
En utilisant la convergence normale sur D(0,r) et le fait que la fonction à intégrer est R intégrable sur [0,2pi],

f(z)= \sum_{n=0}^{\infty} 1/(2\pi ). \int_0^{2\pi} f(re^{i\theta}) e^{-in\theta} d\theta=
\int_0^{2\pi}\sum_{n=0}^{\infty} 1/(2\pi). f(re^{i\theta}) e^{-in\theta} d\theta

Mais après je ne vois pas comment m'y prendre.

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 12:24

Bonjour letonio


Je ne comprends pas ta première égalité.
De plus, je vois un z à gauche mais pas à droite.

Kaiser

Posté par
letoniore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 12:43

oui pardon.
J'ai posé z=re^{i\theta}
Ca va ou pas?

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 12:52

Tu ne peux pas : \Large{\theta} est la variable d'intégration.
De plus : pourquoi cette somme (qu'utilise-tu ?)
Je suppose que tu passes par les séries de Fourier ? Dans ce acs, il manque quelque choses dans la somme.

Kaiser

Posté par
letoniore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 12:59

Je ne comprends pas pourquoi je ne peux pas faire ça.
J'ai juste remplacé an par sa valeur dans l'expression de f(z). J'ai ensuite remplacé z par re^(i\theta)
Peut-être qu'au niveau de la rédaction, il serait plus correct de partir de l'expression de la somme
anz^n   pour arriver à montrer que c'est égal à f(re^i\theta)= f(z)

Posté par
letoniore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 13:00

Les séries de Fourier, c'est à peine si je sais ce que c'est...

Posté par
Ksilverre : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 16:09

Il y a un probleme dans ton raisonement la ! on te demande de montrer que an = integral de...

et toi la premier chose que tu fais c'est remplacer an par cette intégral.

bref la premiere chose que tu fais, c'est utiliser le résultat qu'on te demande de montrer... forcement tu n'ira pas tres loin avec ca...


ce qu'il faut faire, c'est plutot remplacer f par la somme des z^n*an dans l'intégral et observer que sa fait bien an.

Posté par
ottore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 16:11

Ici, c'est tout simplement le théorème de Cauchy, non ?

Posté par
Ksilverre : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 16:14

ouai bien sur, mais j'imagine que le but est de démontrer ce cas particulier.

Posté par
letoniore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 17:33

Citation :
Il y a un probleme dans ton raisonement la ! on te demande de montrer que an = integral de...
et toi la premier chose que tu fais c'est remplacer an par cette intégral.
bref la premiere chose que tu fais, c'est utiliser le résultat qu'on te demande de montrer... forcement tu n'ira pas tres loin avec ca...
ce qu'il faut faire, c'est plutot remplacer f par la somme des z^n*an dans l'intégral et observer que sa fait bien an.

En fait je voulais plutôt calculer a_n r^ne^{in\theta} avec l'expression de an avec l'intégrale pour arriver à montrer que c'est égal à f(z).

Ca vous paraît si problématique?

Le théorème de Cauchy? Lequel?

Posté par
letoniore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 17:35

Donc en posant z=rei^\theta
je pensais retomber sur un truc du genre
  ...= f(re^{i\theta}) \sum.... = f(z)
donc j'espérais pouvoir montrer que la somme valait 1

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 20:04

Mais c'est plus bête que ça : comme te le précise Ksilver, remplace f par son développement en série entière en partant donc de l'expression de droite et ensuite, il y a de l'interversion dans l'air

Kaiser

Posté par
letoniore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 20:38

Je n'arrive pas à démarrer.

Je suis gêné par la question des indices.

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 20:40

Dans la somme, au lieu de sommer sur n, tu sommes avec un autre indice (par exemple k) et tu fixes n.

Kaiser

Posté par
letoniore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 20:42

C'est ce que je m'étais dit, mais je n'arrive pas à aller plus loin...

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 20:43

ben ensuite, tu as l'intégrale d'une somme, donc l'idée est d'intervertir les deux symboles (en justifiant, bien entendu).

Kaiser

Posté par
letoniore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 20:48

Je crois qu eje tiens le bon bout

Posté par
letoniore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 21:03

Je fais une erreur que je ne trouve pas.

1/(2\pi.r^n).\int_0^{2\pi} f(re^{i\theta})e^{-in\theta}d\theta=
1/(2\pi.r^n).\int_0^{2\pi}\sum_{k=0}^\infty a_kr^ke^{i\theta(k-n)} d\theta=
1/(2\pi.r^n).\sum_{k=0}^\infty\int_0^{2\pi} a_kr^ke^{i\theta(k-n)} d\theta

en utilisant le continuité des fonctions \theta-> a_kr^ke^{i\theta(k-n)} et en utilisant la convergence normale de la série sur [0,2pi]

Mais après je tombe sur une intégrale nulle non?

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 21:09

tu es sûr qu'elles sont toutes nulles ? (quelque chose me dit que tu as divisé par 0 sans t'en rendre compte)

Kaiser

Posté par
letoniore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 21:11

quand k=n c'est ça?

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 21:12

oui !

Kaiser

Posté par
letoniore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 21:12

Ok ça marche

Posté par
letoniore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 21:13

C'est bon ça

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 21:13

Posté par
letoniore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 21:41

On me demande ensuite d'en déduire que si f est une fonction bornée et holomorphe sur C alors elle constante

Je ne sais pas comment partir

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 21:56

l'égalité que tu as montrée précédemment est vraie pour tout r donc qu'est-ce qu'on aurait bien envie de faire ?

Kaiser

Posté par
letoniore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 22:09

Prendre r et r' quelconques et montrer que f(z)=f(z')... avec z=re^(i)...hum
Ca me paraît un peu délicat

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 22:12

non, pas vraiment.
On veut montrer que la fonction est constante donc que veut-on montrer sur les \Large{a_{n}} ?

Kaiser

Posté par
letoniore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 22:14

ou r différent de r'   0<r'<R

1/(2\pi) (1/r^n-1/r'^n) \int_0^{2\pi}[f(re^{i\theta})-f(r'e^{i\theta})].e^{-in\theta}d\theta =0

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 22:14

non, tu vas voir, c'est beaucoup plus simple que ça (et surtout beaucoup plus radical).

Kaiser

Posté par
letoniore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 22:17

A part an=1/n! pour avoir l'exponentielle, je ne vois pas comment f peut être constante en jouant sur les an...
ou an = 0  
Pas très convaincant tout ça

Posté par
letoniore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 22:22

A part an=1/n! pour avoir l'exponentielle
enfin non même comme ça f n'est pas constante.

Donc je suppose que je dois montrer que an =0

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 22:23

oui, on va montrer que ces coefficients sont tous nuls (du moins à partir de n=1).
OK, donc je repose ma question d'une manière différente : l'égalité que tu as montrée plus haut est vrai quel que soit le paramètre r, donc on peut en faire à peu près ce que l'on veut. Quelle est la seule chose raisonnable que l'on puisse faire de ce paramètre r ? Prendre une valeur particulière ne nous sera manifestement d'aucune aide. Comme dit plus haut, on peut être plus brutal que ça. De quelle manière ?

Kaiser

Posté par
letoniore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 22:25

Mais ce qui me gêne c'est que on a 0<r<R  et R est fixé une bonne fois non?
Sinon j'aurais pris la limite quand r->oo  et on aurait eu an->0

Posté par hermimi (invité)re : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 22:25

bonsoir,

d'accord cela ne se fait pas et je m'en excuse platement d'avance mais j'aurai vraiment besoin d'aide sur mon sujet, que quelqu'un m'explique, et comme icic il y a dy mouvement, je me disais que quelqu'un pourrait essayer de m'aider, s'il vous plait?

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 22:27

letonio > ici f est supposée holomorphe sur \Large{\mathbb{C}} tout entier donc R est infini.

Kaiser

Posté par
letoniore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 22:28

Oh!!!!
J'avais encore oublié de lire l'énoncé

Posté par
letoniore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 22:28

Ca m'arrive souvent d'ailleurs

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 22:29

Posté par
letoniore : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 22:31

Merci à toi
A demain    

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction holomorphe et DSE 15-05-07 à 22:32

Mais je t'en prie !


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