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Fonction homographique

Posté par Profil Ramanujan 10-01-19 à 17:49

Bonjour,

Soient a,b,c,d des réels tels que : ad-bc \ne 0 et c \ne 0

Et f : \R - \{- \dfrac{d}{c} \} \rightarrow  \R
x \longmapsto \dfrac{ax+b}{cx+d}

Montrer qu'il existe \alpha , \beta, \gamma tel que : f(x) = \alpha + \dfrac{\beta}{x - \gamma}

Je n'arrive pas à faire cette question

J'ai écrit : f(x) = \dfrac{\alpha x + \beta - \alpha \gamma}{x - \gamma} mais ça mène nulle part.

Posté par
matheuxmatoure : Fonction homographique 10-01-19 à 17:54

bonjour... c'est reparti pour une centaine d'échanges ?

tu galèges là !

commence par diviser par c au numérateur et au dénominateur, puis fais une division euclidienne

Posté par
matheuxmatoure : Fonction homographique 10-01-19 à 17:55

ou alors identifie tes deux écritures

Posté par
lionel52re : Fonction homographique 10-01-19 à 17:55

Hello
Essaie de voir dans un premier temps comment transformer  cx + d en x - \gamma

Posté par
lionel52re : Fonction homographique 10-01-19 à 17:58

Et avec ta nouvelle écriture, si tu multiplies par c en haut et en bas c'est aussi direct

Posté par
lafol Moderateurre : Fonction homographique 10-01-19 à 18:20

Bonjour
c'était au programme de terminale, du temps où la terminale C était encore scientifique ....

Posté par
matheuxmatoure : Fonction homographique 10-01-19 à 18:21

lafol oui et même en terminale S j'en ai fait des plus dures  

Posté par
lafol Moderateurre : Fonction homographique 10-01-19 à 18:22

Pour quelqu'un qui n'arrête pas de se gargariser de son passage en MPSI, ne pas savoir décomposer en éléments simples une fraction aussi élémentaire....

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction homographique 10-01-19 à 19:32

J'ai trouvé !

\alpha = \dfrac{a}{c} puis  \gamma = - \dfrac{d}{c} et \beta = \dfrac{bc - da}{c^2}

Mon livre utilise une méthode bizarre avec la limite je n'ai pas compris

Si ces réels existent alors :

\alpha = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \dfrac{a}{c}

Posté par
lafol Moderateurre : Fonction homographique 10-01-19 à 19:38

tu ne sais pas non plus calculer la limite en l'infini d'une fraction ? ou tu as déjà oublié l'unicité de la limite ?

Posté par
luzakre : Fonction homographique 10-01-19 à 23:35

Bonsoir !
Je croyais que "ton" livre était une merveille !

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction homographique 11-01-19 à 10:43

Bah il est très bien après chacun sa méthode, y  a pas qu'une solution de valable.

La suite : montrer que f est strictement monotone sur ]-\infty,\gamma[ , ]\gamma,+\infty[.

Je voulais savoir si c'est bon et si c'est la méthode la plus rapide ?

Penons : I= ]\gamma , + \infty[

f_1 : I \rightarrow  \R^{+*}
x \longmapsto x - \gamma

f_2 :  \R^{+*} \rightarrow  \R
x \longmapsto \dfrac{\beta}{x}

f_3 :  \R \rightarrow  \R
x \longmapsto x + \alpha

On a : f(x) = f_3 \circ f_2 \circ f_1 (x)

L'ensemble d'arrivée de f_1 est inclus de D_{f_2} et l'ensemble d'arrivée de f_2 \circ f_1 est inclus dans D_{f_3}

Par contre je suis pas sûr pour mon ensemble d'arrivée de f_2 je peux prendre \R comme ça ?

Posté par
matheuxmatoure : Fonction homographique 11-01-19 à 10:44

Ramanujan @ 11-01-2019 à 10:43


La suite : montrer que f est strictement monotone sur ]-\infty,\gamma[ , ]\gamma,+\infty[.


c'est faux !

Posté par
matheuxmatoure : Fonction homographique 11-01-19 à 10:48

erreur classique de niveau première !

prend la plus simple des fonctions homographique : x 1/x

d'après toi elle serait décroissante sur * ?

ben non !

-1 < 1 et pourtant f(-1) < f(1) ... bizarre pour une fonction décroissante !

faut apprendre à utiliser correctement les théorèmes de variation à partir du signe de la dérivée et lire attentivement leurs hypothèses

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction homographique 11-01-19 à 10:48

L'énoncé dit :

Montrer que f est strictement monotone sur ]-\infty,\gamma[ puis sur ]\gamma,+\infty[

Posté par
matheuxmatoure : Fonction homographique 11-01-19 à 10:49

ben c'est faux et pis c'est tout ! mets ton bouquin à la poubelle .

Posté par
matheuxmatoure : Fonction homographique 11-01-19 à 10:49

Ramanujan @ 11-01-2019 à 10:48

L'énoncé dit :

Montrer que f est strictement monotone sur ]-\infty,\gamma[ puis sur ]\gamma,+\infty[


ah pardon, ça c'est juste, mais ce n'est pas ce que tu avais écrit !

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction homographique 11-01-19 à 10:50

matheuxmatou @ 11-01-2019 à 10:48

erreur classique de niveau première !

prend la plus simple des fonctions homographique : x 1/x

d'après toi elle serait décroissante sur * ?

ben non !

-1 < 1 et pourtant f(-1) < f(1) ... bizarre pour une fonction décroissante !

faut apprendre à utiliser correctement les théorèmes de variation à partir du signe de la dérivée et lire attentivement leurs hypothèses


Je n'ai pas fait d'erreur regardez ma fonction f2 j'ai pris D_{f_2} = \R^{+*}

La fonction inverse est strictement monotone sur \R^{+*}

Posté par
matheuxmatoure : Fonction homographique 11-01-19 à 10:51

c'était une "réunion" entre tes deux intervalles dans ton premier post sur ce sujet ?

Posté par
matheuxmatoure : Fonction homographique 11-01-19 à 10:51

oui, sur un intervalle c'est juste

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction homographique 11-01-19 à 10:55

Par composée la fonction f est strictement monotone.

Mais vous avez raison c'est un piège classique la fonction inverse, ce détail est important elle est pas monotone sur \R

Par contre le domaine d'arrivée de f_2 j'ai le droit de mettre \R alors que la fonction prend peut être pas toutes les valeurs dans \R ?

J'ai toujours du mal avec les ensembles d'arrivée.

Posté par
matheuxmatoure : Fonction homographique 11-01-19 à 10:56

j'avais interprêté la "virgule" comme une réunion...
il faut remplacer cette virgule par "et sur"
donc là c'est juste

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction homographique 11-01-19 à 10:56

Car \beta \ne 0 donc f_2 ne s'annule jamais...

Posté par
matheuxmatoure : Fonction homographique 11-01-19 à 10:58

l'ensemble de définition est -{}
l'ensemble image est -{}

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction homographique 11-01-19 à 11:38

D'après ce que j'ai lu, si on veut pas se casser la tête à déterminer l'ensemble image, on peut mettre juste \R comme ensemble d'arrivée c'est vrai ?

Posté par
matheuxmatoure : Fonction homographique 11-01-19 à 13:34

oui, ça arrive dans , a fortiori !

Posté par
verdurinre : Fonction homographique 11-01-19 à 19:05

Bonsoir,
si on ne veut pas se casser la tête avec les fonctions homographiques, le plus simple est de se placer sur la droite projective réelle cad \R\cup \lbrace \infty\rbrace.

Dans ce cas, si f(x) = \alpha + \dfrac{\beta}{x - \gamma} on a f(\infty)=\alpha et f(\gamma)=\infty.

La fonction f définie par f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d} est bijective dans tous les cas où (c,d)\neq (0,0), c'est à dire dans tous les cas où elle est définie.

Posté par
matheuxmatoure : Fonction homographique 11-01-19 à 19:06

verdurin si tu parles de "droite projective", certains vont avoir des fusibles qui sautent !

Posté par
verdurinre : Fonction homographique 11-01-19 à 19:07

J'ai encore écris une bêtise.

Mais je ne dis pas la quelle.

Posté par
matheuxmatoure : Fonction homographique 11-01-19 à 19:11

verdurin... au niveau de la bijection peut-être

Posté par
verdurinre : Fonction homographique 11-01-19 à 20:05

Sans doute . . .

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction homographique 11-01-19 à 20:17

Je vois pas la bêtise mais bon...

Vous montrez la bijectivité en dérivant ?

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction homographique 11-01-19 à 20:26

L'exercice suivant est :

Sans utiliser la forme canonique, montrer que f est strictement monotone sur tout intervalle inclus dans son domaine de définition.

D_f = ]-\infty, - \dfrac{d}{c}[ \cup ]  \dfrac{d}{c}, + \infty[
f(x)= \dfrac{ax+b}{cx+d}

Soit I \subset D_f Soit [tex]x \in I[/tex] et y \in I

Je dois exprimer f(x) - f(y) ?

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction homographique 11-01-19 à 20:44

Je trouve :

\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y} = \dfrac{ad -bc}{(cx+d)(cy+d)}

Si \dfrac{f(x)-f(y)}{x-y} >0 la fonction est strictement croissante ?

Posté par
verdurinre : Fonction homographique 11-01-19 à 21:29

Si \dfrac{f(x)-f(y)}{x-y} >0 on peut juste dire que f(x)-f(y) a le même signe que x-y.

Si c'est vrai quelque soient x et y on peut dire que la fonction est strictement monotone sur son domaine de définition.

Ce qui n'est pas le cas si c\neq 0.

Si c\neq 0 la fonction f est strictement monotone sur \bigl]-\infty\,;\frac{-d}{c}\bigr[ et sur \bigl]\frac{-d}{c}\,;\+\infty\bigr[ mais pas sur l'union des deux.

Tu peux relire le message de matheuxmatou du 11-01-19 à 10:48.

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction homographique 11-01-19 à 21:46

Je comprends pas pourquoi vous parlez de c \ne 0 mais j'ai réussi à démontrer le résultat d'une autre manière.

J'ai pris x \in I et y \in I avec I un intervalle inclus dans D_f. J'obtiens :

\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y} = \dfrac{ad - bc}{(cx+d)(cy+d)}

(cx+d) et (cy+d) sont de même signe donc \dfrac{f(x)-f(y}{x-y} est du signe de ad-bc

Si ad - bc >0 alors : \dfrac{f(x)-f(y)}{x-y} >0

Donc si x- y <0 soit x < y alors f(x)-f(y) <0 soit f(x) < f(y)
La fonction est strictement croissante sur I

Si ad - bc < 0 alors : \dfrac{f(x)-f(y)}{x-y} <0

Par ailleurs, si x- y <0 soit x < y alors f(x)-f(y) >0 soit f(x) > f(y)
La fonction est strictement décroissante sur I

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction homographique 11-01-19 à 21:50

Le fait que cx+d[/tex et [tex]cy+d soient de même signe n'est valable que parce qu'on a pris un intervalle

Sinon ça ne marcherait pas.

Posté par
verdurinre : Fonction homographique 11-01-19 à 21:56

Je n'aurais pas rédigé comme ça, mais c'est correct.

Il faut préciser pourquoi  x \in I et y \in I avec I un intervalle inclus dans D_f entraîne que  (cx+d) et (cy+d) sont de même signe.
C'est le point clef de ta démonstration.

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction homographique 11-01-19 à 22:07

Ah d'accord merci.

Soit I un intervalle inclus dans D_f = ]-\infty, - \dfrac{d}{c}[ \cup ]  \dfrac{d}{c}, + \infty[

cx + d < 0 \Leftrightarrow  x < \dfrac{-d}{c}

cy + d < 0 \Leftrightarrow  y < \dfrac{-d}{c}

Donc si z \in I \subset ]-\infty, - \dfrac{d}{c}[ alors :

z <  \dfrac{-d}{c}

Donc cx + d < 0 et cy+ d < 0

Même raisonnement pour l'autre intervalle du domaine de définition.

Posté par
verdurinre : Fonction homographique 11-01-19 à 22:20

Tu écris d/c.
Ce qui suppose c0.

Raison pour laquelle j'avais pris cette hypothèse.

Il reste un point pendant : que se passe t-il si c=0 ?

Sinon ta « démonstration » est très insuffisante.

cx + d < 0 \Leftrightarrow  x < \dfrac{-d}{c} est faux comme on peut le vérifier en prenant c=-1 et d=0.

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction homographique 11-01-19 à 22:28

@Verdurin

Dans l'énoncé initial c est supposé non nul (voir mon 1er message).

Ah oui vous avez raison ma démo tient pas la route  

cx + d < 0 \Leftrightarrow cx < -d    

Si c >0 on a : x < - \dfrac{d}{c}

Si c <0 on a : x > - \dfrac{d}{c}

cy + d < 0 \Leftrightarrow cx < -d    

Si c >0 on a : y < - \dfrac{d}{c}

Si c <0 on a : y > - \dfrac{d}{c}

Posté par
verdurinre : Fonction homographique 11-01-19 à 22:57

Un argument simple :

Les fonctions affines sont continues.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires si  (cx+d) et (cy+d) n'ont pas le même signe, il existe une valeur z entre x et y telle que cz+d=0.

Ce qui signifie que la fonction f n'est pas définie sur l'intervalle de bornes x et y.

Et donc que cet intervalle n'est pas inclus dans D_f.

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction homographique 11-01-19 à 23:24

Je trouve pas ça simple

Par contraposée : \forall z \in [x,y] : cz + d \ne 0 \Rightarrow     cx+d et cy+d sont de même signe.

J'ai pas compris le "f n'est pas définie sur l'intervalle de bornes x et y. Et donc que cet intervalle n'est pas inclus dans Df"

Posté par
luzakre : Fonction homographique 12-01-19 à 10:00

Encore un quantificateur mal écrit !
Il n'y a qu'une façon de lire ta phrase c'est :
\forall z \in [x,y],\;\Bigl( cz + d) \ne 0 \Rightarrow  (cx+d) \text{ et } (cy+d)\text{ ont même signe}\Bigr)
alors que tu voulais dire :
(\forall z \in [x,y],\; cz + d \ne 0) \Rightarrow  (cx+d) \text{ et } (cy+d)\text{ ont même signe}

Ce genre de situation explique pourquoi de grands mathématiciens (Bourbaki, Dixmier, Dieudonné, Godement entre autres) refusent de rédiger en utilisant des quantificateurs !

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction homographique 12-01-19 à 13:39

Je vois pas la différence entre les 2 assertions

Posté par
luzakre : Fonction homographique 12-01-19 à 14:46

Sachant que p\implies q est l'écriture de \text{ non $ p$ ou $q$}, ta première assertion c'est :
\forall z \in [x,y],\;( cz + d)=0 \text{ ou}  \Bigl( (cx+d) \text{ et } (cy+d)\text{ ont même signe}\Bigr)
et vois ce qu'elle devient avec d=0,\;x=-y=c=1

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction homographique 12-01-19 à 18:54

Ça donne : \forall z \in [-1,1] z=0 ou( -1 et 1 ) sont de même signe.

Si z=1 alors z n'est pas nul.

Par ailleurs -1 et 1 ne sont  pas de même signe.

Donc l'assertion est fausse avec votre cas particulier.

Posté par
luzakre : Fonction homographique 12-01-19 à 23:23

Mon but n'était pas d'écrire une assertion fausse mais de te montrer que les deux énoncés ne sont pas les mêmes alors que tu dis

Citation :
Je vois pas la différence entre les 2 assertions

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction homographique 13-01-19 à 20:04

Ah la 2ème du coup donne :

( \exists z \ne 0 : z \ne 0 ) OU (1 et -1 sont de même signe)

Cette assertion est juste puis ce n'est pas la même que l'autre.

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction homographique 13-01-19 à 20:06

C'était plutôt :

(\exists z \in [-1,1] : z \ne 0 )ou (1 et -1 sont de même signe)


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