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Niveau maths sup
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Fonction hyperbolique

Posté par
Ramanujan
14-04-19 à 21:18

Bonsoir,

Simplifier S_n = \sum_{k=0}^n sh(x+ky) et C_n = \sum_{k=0}^n ch(x+ky)

Comme \forall t \in \R : \exp(t) = ch(t) + sh(t)

J'ai posé E_n = S_n + C_n = \sum_{k=0}^n \exp(x+ky)

Je trouve pour y \ne 0

E_n = \exp(x+ \dfrac{n}{2}y) \dfrac{sh(\dfrac{(n+1)y}{2})}{sh(\dfrac{y}{2})}

Mais je bloque pour trouver S_n et C_n

Pour y=0 on a :

E_n = \sum_{k=0}^n \exp(x) = (n+1) \exp(x)

Pareil je ne vois pas comment trouver S_n et C_n

Posté par
larrech
re : Fonction hyperbolique 14-04-19 à 21:29

Bonjour,

En calculant C_n-S_n ?

Posté par
Ramanujan
re : Fonction hyperbolique 14-04-19 à 22:09

Ah d'accord.

Mais mon livre écrit directement "en prenant les parties paires et impaires"

Je n'ai pas compris.

Posté par
larrech
re : Fonction hyperbolique 14-04-19 à 22:44

Il est certain qu'on peut faire un calcul direct en écrivant par exemple

S_n=\dfrac{e^x}{2}(\sum_{k=0}^{n}{e^{ky}})-\dfrac{e^{-x}}{2} (\sum_{k=0}^{n}{e^{-ky}})

et en calculant chacune des sommes. Est-ce cela que suggère votre bouquin ?

Posté par
Ramanujan
re : Fonction hyperbolique 14-04-19 à 23:14

Non dans mon livre on calcule E_n puis il est dit "en prenant les parties paires et impaires" et après le résultat est donné directement.

Mais je n'ai pas compris les parties paires et impaires de quoi ?

Posté par
larrech
re : Fonction hyperbolique 14-04-19 à 23:29

S_n est la partie impaire de E_n, C_n, la partie paire.

Etant donné une fonction y\to f(y), ,sa partie paire est \dfrac{f(y)+f(-y)}{2}, sa partie impaire \dfrac{f(y)-f(-y)}{2}


A appliquer à E_n

Posté par
lafol Moderateur
re : Fonction hyperbolique 14-04-19 à 23:30

Bonjour
l'équivalent des formules d'Euler ....

e^x = ch(x) (partie paire) + sh(x) (partie impaire)

ch(x) = (e^x+e^{-x})/2 (partie paire de exp)
sh(x) = (e^x-e^{-x})/2 (partie impaire de exp)

dans ton cas il suffit d'écrire l'exponentielle du début de l'expression sous forme ch + sh
puis reconnaître la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire

Posté par
Ramanujan
re : Fonction hyperbolique 15-04-19 à 01:31

Ah d'accord merci. Il faut utiliser l'unicité de la décomposition d'une fonction en somme de fonctions paire et impaire.

Pour y \ne 0
E_n = \exp(x+ \dfrac{n}{2}y) \dfrac{sh(\dfrac{(n+1)y}{2})}{sh(\dfrac{y}{2})} = ch(x+ \dfrac{n}{2}y) \dfrac{sh(\dfrac{(n+1)y}{2})}{sh(\dfrac{y}{2})}  +sh(x+ \dfrac{n}{2}y) \dfrac{sh(\dfrac{(n+1)y}{2})}{sh(\dfrac{y}{2})}

Donc :

C_n =  ch(x+ \dfrac{n}{2}y) \dfrac{sh(\dfrac{(n+1)y}{2})}{sh(\dfrac{y}{2})}
S_n=sh(x+ \dfrac{n}{2}y) \dfrac{sh(\dfrac{(n+1)y}{2})}{sh(\dfrac{y}{2})}

Pour y=0

E_n = (n+1) ch(x) + (n+1) sh(x)

D'où C_n=(n+1)ch(x) et S_n=(n+1)sh(x)

Posté par
lafol Moderateur
re : Fonction hyperbolique 15-04-19 à 12:32

Pour y = 0 y'a pas besoin de passer par l'exponentielle pour ajouter n+1 termes identiques !

Posté par
Ramanujan
re : Fonction hyperbolique 15-04-19 à 17:46

En effet, merci !

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